题目内容
如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.分析:若以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似,有两种情况:
①△APQ∽△BAC,此时得AQ:BC=AP:AB;
②△APQ∽△BCA,此时得AQ:AB=AP:BC.
可根据上述两种情况所得到的不同的对应成比例线段求出t的值.
①△APQ∽△BAC,此时得AQ:BC=AP:AB;
②△APQ∽△BCA,此时得AQ:AB=AP:BC.
可根据上述两种情况所得到的不同的对应成比例线段求出t的值.
解答:解:以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似,
所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,
①当△ABC∽△PAQ时,
=
,
所以
=
,
解得:t=
;
②当△ABC∽△QAP时,
=
,
所以
=
,
解得:t=
.
故当t=
或t=
时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.
所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,
①当△ABC∽△PAQ时,
AB |
AP |
BC |
AQ |
所以
15 |
2t |
10 |
10-t |
解得:t=
30 |
7 |
②当△ABC∽△QAP时,
CB |
AP |
BA |
AQ |
所以
10 |
2t |
15 |
10-t |
解得:t=
5 |
2 |
故当t=
30 |
7 |
5 |
2 |
点评:此题主要考查了矩形的性质及相似三角形的判定和性质;当相似三角形的对应角和对应线段不明确时,应考虑到所有可能的情况,分类讨论,以免漏解.
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