Question

如图，在等腰直角△ABC中AC=AB，BD⊥AH于D，CH⊥AH于H，HE、DF分别平分∠AHC和∠ADB，则下列结论中①△AHC≌△BDA；②DF⊥HE；③DF=HE；④AE=BF其中，正确的结论有（只需填写序号）

1. A.
   ①③④
2. B.
   ①
3. C.
   ①②③
4. D.
   ①②③④

Answer 1

D
分析：①利用同角的余角相等，得∠CAH=∠ABD，再利用AAS判定△AHC≌△BDA；
②如图，延长BD与AC相交于点M，延长FD、HE，两延长线交于点G，证明CH∥BM，同旁内角∠CHD与∠MDH互补，两角的平分线互相垂直；
③利用角平分线的定义，得∠EHA=∠FDB，又∵∠EAH=∠FBD，AH=BD，得出△EHA≌△FDB，进而得出结论；
④根据△EHA≌△FDB，得AE=BF．
解答：解：①∵∠CAH+∠BAD=90°，∠ABD+∠BAD=90°
∴∠CAH=∠ABD
又∵∠CHA=∠ADB=90°，AC=AB
∴△AHC≌△BDA（AAS）；
②如图，延长BD与AC相交于点M，延长FD、HE，两延长线交于点G∵∠CHD+∠HDM=90°+90°=180°
∴CH∥BM
∵DF平分∠ADB
∴DG平分∠HDM
又∵HE平分∠AHC
∴∠HGD=90°
∴DF⊥HE；
③∠EHA=∠CHA
∠FDB=∠ADB
又∵∠CHA=∠ADB
∴∠EHA=∠FDB
又∵∠EAH=∠FBD，AH=BD
∴△EHA≌△FDB
∴DF=HE；
④∵△EHA≌△FDB
∴AE=BF；
故选D．
点评：本题考查了全等三角形的判定及其性质，平行线的性质，同角的余角相等等知识．