Question

如图,四边形内接于⊙,是⊙的直径,,垂足为,平分．

（1）求证：是⊙的切线;
（2）若,求的长．

Answer 1

(1)证明见解析;（2）BD的长是4cm．

试题分析：（1）连接OA,根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°,故AE⊥OA,即AE是⊙O的切线;
（2）根据圆周角定理,可得在Rt△AED中,∠AED=90°,∠EAD=30°,有AD=2DE;在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ABD=30°,有BD=2AD=4DE,即可得出答案．
试题解析：（1）连接OA,

∵DA平分∠BDE,
∴∠BDA=∠EDA．
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠OAD=∠EDA,
∴OA∥CE．
∵AE⊥DE,
∴∠AED=90°．
∴∠OAE=∠DEA=90°．
∴AE⊥OA．
∴AE是⊙O的切线;
（2）∵BD是直径,
∴∠BCD=∠BAD=90°．
∵∠DBC=30°,∠BDC=60°,
∴∠BDE=120°．
∵DA平分∠BDE,
∴∠BDA=∠EDA=60°．
∴∠ABD=∠EAD=30°．
∵在Rt△AED中,∠AED=90°,∠EAD=30°,
∴AD=2DE．
∵在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ABD=30°,
∴BD=2AD=4DE．
∵DE的长是1cm,
∴BD的长是4cm．