Question

如图，AD是△ABC的角平分线，且∠B=∠ADB，过点C作AD的延长线的垂线，垂足为M．
（1）若∠DCM=α，试用α表示∠BAD；
（2）求证：AB+AC=2AM．

Answer 1

解：（1）∵CM⊥AM，∠DCM=α，
∴∠CDM=∠ADB=∠B=90°-α，
∴∠BAD=180°-2∠ABD=180°-2（90°-α）=2α；

（2）延长AM到F使MF=AM，则有AC=CF
∵AD平分∠CAB
∴∠CAF=∠BAF=∠F
∴CF∥AB
∴∠FCD=∠ABD=∠ADB=∠CDF
∴CF=DF
∵AD+DF=2MA
∴AB+AC=2MA
分析：（1）由CM⊥AM，∠DCM=α，利用三角形内角和定理即可得出答案．
（2）延长AM到F使MF=AM，则有AC=CF，由AD平分∠CAB推出CF∥AB，然后即可证明AB+AC=2AM．
点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此题的（1）比较简单，（2）的关键是作好辅助线，延长AM到F使MF=AM，则有AC=CF，这是此题的关键所在．