题目内容
【题目】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8=0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c=0是“倍根方程”，则c= ；
（2）若（x﹣2）（mx﹣n）=0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．
【答案】（1）2；（2）4m2﹣5mn+n2=0；（3）a，b，c之间的关系是2b2﹣9ac=0.7．
【解析】【试题分析】（1）根据倍根方程的定义，利用根与系数的关系，得x1+x2=3，x1x2=c，即x1+2x1=3，2x12=c，求出c=2；
（2）
根据倍根方程的定义， 
，进行分类讨论，当x2=1时， 
，即m=n，代入代数式4m2﹣5mn+n2=0；当x2=4时， 
，即n=4m，代入代数式4m2﹣5mn+n2=0．
（3）根据倍根方程的定义，引入参数t, a（x﹣t）（x﹣2t）=0然后对应ax2+bx+c=0，则
b=-3at, 
,然后消去参数t,即a，b，c之间的关系是2b2﹣9ac=0.
【试题解析】
（1）∵一元二次方程x2﹣3x+c=0是“倍根方程”，
∵x1+x2=3，x1x2=c，即x1+2x1=3，2x12=c，
∴c=2，
故答案为：2；
（2）解方程（x﹣2）（mx+n）=0（m≠0）得，x1=2， 
．
∵方程两根是2倍关系，
∴x2=1，
当x2=1时， 
，即m=n，
代入代数式4m2﹣5mn+n2=0，
当x2=4时， 
，即n=4m，
代入代数式4m2﹣5mn+n2=0．
综上所述，4m2﹣5mn+n2=0；
（3）根据“倍根方程”的概念设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为t和2t．
∴原方程可以改写为a（x﹣t）（x﹣2t）=0，
∴ax2+bx+c=ax2﹣3atx+2at2，
∴
．
解得2b2﹣9ac=0．
∴a，b，c之间的关系是2b2﹣9ac=0.
