Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，以边AB为直径的⊙O经过点C，E是⊙O上的一点，且∠BEC=45°．

（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若BE=8cm，sin∠BCE= ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）相切，详见解析；（2）⊙O的半径为5 cm．

【解析】

（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BEC=90°，再根据平行四边形的性质可得AB∥CD，则∠OCD=∠BOC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到CD与⊙O相切；

（2）连接AE，根据圆周角定理及其推论得∠AEB=90°，∠EAB=∠BCE，而sin∠BCE=，则sin∠EAB=，根据三角函数的定义易求出AB，即可得到圆的半径．

解：（1）相切．理由如下：

连接OC，如图，

∵∠BEC=45°，

∴∠BOC=90°，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD．

∴∠OCD=∠BOC=90°，

∴OC⊥CD．

∴CD为⊙O的切线；

（2）连接AE，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵∠EAB=∠BCE，sin∠BCE=，

∴sin∠EAB=，

∴=，

∵BE=8，

∴AB=10，

∴AO=AB=5，

∴⊙O的半径为5 cm．