题目内容
已知:正方形ABCD的边长为1,射线AE与射线BC交于点E,射线AF与射线CD交于点F,∠EAF=45°.
(1)如图1,当点E在线段BC上时,试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系?并证明你的猜想.

(2)设BE=x,DF=y,当点E在线段BC上运动时(不包括点B、C),如图1,求y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围.
(3)当点E在射线BC上运动时(不含端点B),点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心以BE为半径的⊙E和以F为圆心以FD为半径的⊙F之间的位置关系.
(4)当点E在BC延长线上时,设AE与CD交于点G,如图2.问⊿EGF与⊿EFA能否相似,若能相似,求出BE的值,若不可能相似,请说明理由.

(1)如图1,当点E在线段BC上时,试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系?并证明你的猜想.

(2)设BE=x,DF=y,当点E在线段BC上运动时(不包括点B、C),如图1,求y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围.
(3)当点E在射线BC上运动时(不含端点B),点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心以BE为半径的⊙E和以F为圆心以FD为半径的⊙F之间的位置关系.
(4)当点E在BC延长线上时,设AE与CD交于点G,如图2.问⊿EGF与⊿EFA能否相似,若能相似,求出BE的值,若不可能相似,请说明理由.

(1)EF=BE+DF,理由见解析;(2)y=
(0<x<1);(3)⊙E与⊙F外切;(4)BE的长为1+
.


试题分析:(1)将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°,得△ABF′,易知点F′、B、E在一直线上.证得AF′E≌△AFE.从而得到EF=F′E=BE+DF;
(2)由(1)得EF=x+y再根据CF=1-y,EC=1-x,得到(1-y)2+(1-x)2=(x+y)2.化简即可得到y=

(0<x<1).
(3)当点E在点B、C之间时,由(1)知EF=BE+DF,故此时⊙E与⊙F外切;当点E在点C时,DF=0,⊙F不存在.当点E在BC延长线上时,将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°,得△ABF′,证得△AF′E≌△AFE.即可得到EF=EF′=BE-BF′=BE-FD.从而得到此时⊙E与⊙F内切.
(4)△EGF与△EFA能够相似,只要当∠EFG=∠EAF=45°即可.这时有 CF=CE.设BE=x,DF=y,由(3)有EF=x-y.由CE2+CF2=EF2,得(x-1)2+(1+y)2=(x-y)2.化简可得 y=


试题解析:
(1)猜想:EF=BE+DF.理由如下:
将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°,得△ABF′,易知点F′、B、E在一直线上.如图1.
∵AF′=AF,
∠F′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF,
又AE=AE,
∴△AF′E≌△AFE.
∴EF=F′E=BE+DF;
(2)由(1)得EF=x+y
又CF=1-y,EC=1-x,
∴(1-y)2+(1-x)2=(x+y)2.
化简可得y=

(3)①当点E在点B、C之间时,由(1)知EF=BE+DF,故此时⊙E与⊙F外切;
②当点E在点C时,DF=0,⊙F不存在.
③当点E在BC延长线上时,将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°,得△ABF′,图2.
有AF′=AF,∠1=∠2,BF′=FD,
∴∠F′AF=90°.
∴∠F′AE=∠EAF=45°.
又 AE=AE,
∴△AF′E≌△AFE.
∴EF=EF′=BE-BF′=BE-FD.
∴此时⊙E与⊙F内切.
综上所述,当点E在线段BC上时,⊙E与⊙F外切;当点E在BC延长线上时,⊙E与⊙F内切;
(4)△EGF与△EFA能够相似,只要当∠EFG=∠EAF=45°即可.
这时有CF=CE.
设BE=x,DF=y,由(3)有EF=x-y.
由CE2+CF2=EF2,得(x-1)2+(1+y)2=(x-y)2.
化简可得 y=

又由EC=FC,得x-1=1+y,即x-1=1+

x2-2x-1=0,解之得
x=1+


∴所求BE的长为1+


练习册系列答案
相关题目