题目内容
如图,在⊙O中,弦AB∥弦CD,且分居在点O的两侧.已知AB=11,CD=21,⊙O的半径R=
.求:
(1)AB与CD之间的距离.
(2)若⊙I1、⊙I2分别为△ACD、△ABC的内切圆,求⊙I1、⊙I2的半径之比.
65 |
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(1)AB与CD之间的距离.
(2)若⊙I1、⊙I2分别为△ACD、△ABC的内切圆,求⊙I1、⊙I2的半径之比.
考点:三角形的内切圆与内心,勾股定理,垂径定理
专题:
分析:(1)分别作弦AB、CD的弦心距,设垂足为E、F;由于AB∥CD,则E、O、F三点共线,EF即为AB、CD间的距离;由垂径定理,易求得AE、DF的长,连接OA、OD,在构建的直角三角形中,根据勾股定理即可求出OE、OF的长,也就求出了EF的长,即弦AB、CD间的距离;
(2)先证明四边形ABCD是等腰梯形,作等腰梯形ABCD的高AE,BF,运用勾股定理求出AD=13,AC=20,运用梯形的面积公式得出S梯形ABCD=192,则S△ADC=126,S△ABC=66,然后由面积法分别求出⊙I1的半径r1=
,⊙I2的半径r2=3,则⊙I1与⊙I2的半径之比可求.
(2)先证明四边形ABCD是等腰梯形,作等腰梯形ABCD的高AE,BF,运用勾股定理求出AD=13,AC=20,运用梯形的面积公式得出S梯形ABCD=192,则S△ADC=126,S△ABC=66,然后由面积法分别求出⊙I1的半径r1=
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3 |
解答:解:(1)如图1,过O作OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F,连接OA,OD.
∵AB∥CD,∴E,O,F三点共线,
∴EF即为所求的AB,CD的距离
∴AE=
AB=
,DF=
CD=
,
在Rt△OAE中,∵OB=
,AE=
,∴OE=
.
在Rt△ODF中,∵OD=
,DF=
,∴OF=
,
∴EF=OE+OF=
+
=12,
答:AB和CD的距离为12;
(2)∵AB∥CD,AB≠CD,
∴四边形ABCD是梯形,
∵在⊙O中,弦AB∥弦CD,
∴
=
,
∴AD=BC,
∴梯形ABCD是等腰梯形.
如图2,作等腰梯形ABCD的高AE,BF,则四边形ABFE是矩形,FE=AB=11,DE=CF=
=5.
在△ADE中,∵∠AED=90°,
∴AD=
=
=13,
在△ACE中,∵∠AEC=90°,
∴AC=
=
=20.
S梯形ABCD=
(AB+CD)•EF=
(11+21)×12=192,
∵S△ADC+S△ABC=192,S△ADC:S△ABC=21:11,
∴S△ADC=126,S△ABC=66.
如图3,连接I1A、I1D、I1C,设△ACD的内切圆半径为r1,
∵S△ADC=S△AI1D+S△DI1C+S△AI1C=
AD•r1+
CD•r1+
CA•r1,
∴
(13+21+20)r1=126,
∴r1=
,
同理,求出⊙I2的半径r2=3,
∴⊙I1与⊙I2的半径之比是
:3=
.
∵AB∥CD,∴E,O,F三点共线,
∴EF即为所求的AB,CD的距离
∴AE=
1 |
2 |
11 |
2 |
1 |
2 |
21 |
2 |
在Rt△OAE中,∵OB=
65 |
6 |
11 |
2 |
28 |
3 |
在Rt△ODF中,∵OD=
65 |
6 |
21 |
2 |
8 |
3 |
∴EF=OE+OF=
28 |
3 |
8 |
3 |
答:AB和CD的距离为12;
(2)∵AB∥CD,AB≠CD,
∴四边形ABCD是梯形,
∵在⊙O中,弦AB∥弦CD,
∴
AD |
BC |
∴AD=BC,
∴梯形ABCD是等腰梯形.
如图2,作等腰梯形ABCD的高AE,BF,则四边形ABFE是矩形,FE=AB=11,DE=CF=
CD-AB |
2 |
在△ADE中,∵∠AED=90°,
∴AD=
DE2+AE2 |
52+122 |
在△ACE中,∵∠AEC=90°,
∴AC=
EC2+AE2 |
162+122 |
S梯形ABCD=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵S△ADC+S△ABC=192,S△ADC:S△ABC=21:11,
∴S△ADC=126,S△ABC=66.
如图3,连接I1A、I1D、I1C,设△ACD的内切圆半径为r1,
∵S△ADC=S△AI1D+S△DI1C+S△AI1C=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴
1 |
2 |
∴r1=
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3 |
同理,求出⊙I2的半径r2=3,
∴⊙I1与⊙I2的半径之比是
14 |
3 |
14 |
9 |
点评:本题考查了等腰梯形的判定与性质,垂径定理,勾股定理,三角形的内切圆,三角形、梯形的面积,综合性较强,有一定难度.
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