题目内容
【题目】已知在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一点,过P作y轴的平行线,交抛物线于点M．问:是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在,请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（
，3）（2）
（3）存在，（ 
， 
）
【解析】解：（1）过C作CH⊥OA于H，
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=
。
∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
∴OC=OA=
，∠AOC=60°。
∴OH=
，CH="3" 。
∴C的坐标是（
，3）。
（2）∵抛物线
经过C（
，3）、A（
，0）两点，
∴
，解得
。∴此抛物线的解析式为
（3）存在。
∵
的顶点坐标为（
，3），即为点C。
MP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，
∵∠BOA＝300，所以ON＝
∴P（
）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E。
把
代入
得： 
。
∴ M（
， 
），E（
， 
）。
同理：Q（
，t），D（
，1）。
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD，
即
，解得： 
， 
（舍去）。
∴ P点坐标为（
， 
）。
∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（
， 
）。
（1）过C作CH⊥OA于H，根据折叠得到OC=OA=4，∠A0C=60°，求出OH和CH即可。
（2）把C（
，3）、A（
，0）代入
得到方程组，求出方程组的解即可。
（3）如图，根据等腰梯形的判定，只要CE＝QD即可，据此列式求解。
