题目内容
如图所示，四边形EFGH是正方形ABCD的内接四边形，∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG=3，FH=4，四边形EFGH的面积是5．求正方形ABCD的面积．考点：正方形的性质
专题：
分析：过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、DA的垂线，构造矩形PQRT．利用勾股定理求的正方形ABCD的边长，然后由S△AEH=S△TEH，S△BEF=S△PEF，S△GFC=S△QFG，S△DGH=S△RGH推知（EG2+FH2-4S）a2=EG2FH2-4S2．
解答：
解：过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、DA的垂线，得矩形PQRT．
设正方形ABCD的边长为a，PQ=b，QR=c，
∵EG=3，FH=4，四边形EFGH的面积是5，
∴b=
=
，c=
=
，
由S△AEH=S△TEH，
S△BEF=S△PEF，S△GFC=S△QFG，S△DGH=S△RGH
得SABCD+SPQRT=2S四边形EFGH，
∴a2+bc=2S，即a2+
•
=2S四边形EFGH，
又∵四边形EFGH的面积是5，
∴a2+
•
=10，
解得，a2=
，即正方形ABCD的面积是
．
解：过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、DA的垂线，得矩形PQRT．设正方形ABCD的边长为a，PQ=b，QR=c，
∵EG=3，FH=4，四边形EFGH的面积是5，
∴b=
| EG2-a2 |
| 9-a2 |
| FH2-a2 |
| 16-a2 |
由S△AEH=S△TEH，
S△BEF=S△PEF，S△GFC=S△QFG，S△DGH=S△RGH
得SABCD+SPQRT=2S四边形EFGH，
∴a2+bc=2S，即a2+
| 9-a2 |
| 16-a2 |
又∵四边形EFGH的面积是5，
∴a2+
| 9-a2 |
| 16-a2 |
解得，a2=
| 44 |
| 5 |
| 44 |
| 5 |
点评：本题主要考查了三角形的面积、正方形的性质以及勾股定理．此题难度较大，在解题时需灵活运用图中的直角三角形和矩形的性质．
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