Question

（1）如图（1）两个圆中，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B，过B点的直线交两圆于C、D，已知⊙O₁与⊙O₂的半径分别为6和8，求证：AD：AC的比值为定值；
（2）如图（2），D为线段AB延长线上的一点，△ABC与△BDE都是等边三角形，连接CE并延长，△ABC的外接圆⊙O交CF于M，请解答下列问题：
①求证：BE切⊙O于B；
②若CM=2，MF=6，求⊙O的半径；
③过D作DG∥BE交EF于G，过G作GH∥DE交DF于H，设△ABC、△BDE、△DHG的面积分别为S₁、S₂、S₃，试探究S₁、S₂、S₃之间的关系．

Answer 1

分析：（1）先过点A作⊙O₁的直径AE，连接EB并延长交⊙O₂于点F；连接AF、CF、DE，证明△CAE∽△DAF，得出比例关系式即可；
（2）①连接OB，只要证明∠OBE=90°即可求解；
②连接MB，易证∠CMB=∠CBF，则可以得到△CMB∽△CBF，根据相似三角形对应边的比相等即可得证；
③由题意可得出AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，根据平行线分线段成比例定理即可得证．

解答：（1）证明：过点A作⊙O₁的直径AE，连接EB并延长交⊙O₂于点F，
连接AF、CF、DE，
由（1）可知：AF是⊙O₂的直径，∠ABE=∠ABF=90°，
∵∠CAE=∠CBE，∠DAF=∠DBF，
又∵∠CBE=∠DBF，
∴∠CAE=∠DAF．
∴△CAE∽△DAF．
∴

AC

AD

=

AE

AF

=

12

16

=

3

4

．
∴AC与AD的比值是定值

3

4

．

（2）①证明：连接OB，由题意得，
∠ABC=∠EBD=60°
∴∠OBC=30°∠CBE=60°
则∠OBE=90°
∴BE是⊙O的切线；

②解：连接MB，过点O作ON⊥AB于点N，
则∠CMB=120°
∵∠CBF=120°
∴∠CMB=∠CBF
∵∠BCF=∠BCM
∴△CMB∽△CBF
∴

CM

CB

=

CB

CF

，
即CB²=CM•CF
∵AC=CB=AB，CM=2，MF=6，
∴CB²=16，
AB=AC=BC=4，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBA=30°，
∴ON=

1

2

BO，
∴cos30°=

BN

BO

=

2

BO

=

3

2

，
解得：BO=

4 3

3

，
即⊙O的半径为：

4 3

3

；

③解：由题意可得：AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，
∴

AB

BD

=

CE

EG

=

BD

DH

∵

S1

S2

=（

AB

BD

）²

S2

S3

=（

BD

DH

）²
∴

S1

S2

=

S2

S3

即S₂²=S₁•S₃
∴所求的数量关系是S₂²=S₁•S₃．

点评：本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的性质，熟悉直径所对的圆周角为直角，90°的圆周角所对的弦为直径的知识，注意要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．