题目内容

如图所示,两个同样大小的等边△ABC和△ACD,边长为12,它们拼成一个菱形ABCD,另一个足够大等边△AEF精英家教网绕点A旋转,AE与BC相交于点M,AF与CD相交于点N.
(1)判断AM与AN是否相等,并简要说明理由;
(2)求四边形AMCN的面积;
(3)探索△AMN何时面积最小,并求出这个最小面积.
分析:(1)AM=AN,先证明△ACN≌△ABM,再根据全等三角形的对应边相等的性质得出答案;
(2)先证明S△ABC=S四边形AMCN,再用等量代换解答;
(3)根据两点间垂直距离最短解答;
解答:(1)AM=AN.
证明:∵△ABC、△ACD、△AEF都是等边三角形,
∴∠BAE+∠EAC=∠CAN+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠CAN.
又∵AB=AC,∠B=∠ACN,
∴△ACN≌△ABM,
∴AM=AN.

(2)解:由(1)得,△ACN≌△ABM,
∴S△ABM+S△AMC=S△ACN+S△AMC=S四边形AMCN
又∵S△ABM+S△AMC=S△ABC=
1
2
×12×12×sin60°=36
3

∴S△ABC=S四边形AMCN=36
3

∴四边形AMCN的面积是36
3


(3)解:∵△AEF是等边三角形,
∴∠EAF=60°,
∴S△AMN=
1
2
AN•AM•sin60°,
∴只要AN、AM取最小值,S△AMN就最小,
∵两点间的垂直距离最短,
∴当AN⊥CD、AM⊥BC时,△AMN面积最小.
在△ABM中,AM=12×sin60°=6
3

在△ANC中,AN=12×sin60°=6
3

∴S△AMN=
1
2
AM•ANsin60°=27
3

∴当AN⊥CD、AM⊥BC时,△AMN面积最小,△AMN的最小面积是27
3
点评:解答本题的难点是全等三角形的判定.在突破难点时,充分利用等边三角形的性质:三条边相等,三个角相等且都是60°.
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