题目内容
【题目】如图1,在直角坐标系中,已知点A(0,2)、点B(-2,0),过点B和线段OA的中点C作直线BC,以线段BC为边向上作正方形BCDE.
(1)填空:点D的坐标为_________,点E的坐标为_______________.
(2)若抛物线经过A、D、E三点,求该抛物线的解析式.
(3)若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移,直至正方形的顶点E落在轴上时,正方形和抛物线均停止运动.
①在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为,求关于平移时间(秒)的函数关系式,并写出相应自变量的取值范围.
②运动停止时,求抛物线的顶点坐标.
【答案】(1)D的坐标为(-1,3),E的坐标为(-3,2);
(2)抛物线的解析式为;
(3)①S与x的函数关系式为:
当0<t≤时, S=5
当<t≤1时,S=5t
当1<t≤时,S=-5t2+15t
②抛物线的顶点坐标是(, ).
【解析】(1)D(-1,3)、E(-3,2)(2分)
(2)抛物线经过(0,2)、(-1,3)、(-3,2),则
解得
∴
(3)①当点D运动到y轴上时,t=.
当0<t≤时,如右图
设D′C′交y轴于点F
∵tan∠BCO= =2,又∵∠BCO=∠FCC′
∴tan∠FCC′=2, 即=2
∵CC′= t,∴FC′=2t.
∴S△CC′F =CC′·FC′= t×t=5 t2
当点B运动到点C时,t=1.当<t≤1时,如右图
设D′E′交y轴于点G,过G作GH⊥B′C′于H.
在Rt△BOC中,BC=
∴GH= ,∴CH=GH=
∵CC′=t,∴HC′=t-,∴GD′=t-
∴S梯形CC′D′G =(t-+ t) =5t-
当点E运动到y轴上时,t=.
当1<t≤时,如右图所示
设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N
∵CC′=t,B′C′=,
∴CB′=t-,∴B′N=2CB′=t-
∵B′E′=,∴E′N=B′E′-B′N=-t
∴E′M=E′N=(-t)
∴S△MNE′ =(-t)· (-t)=5t2-15t+
∴S五边形B′C′D′MN =S正方形B′C′D′E′ -S△MNE′ = (5t2-15t+)=-5t2+15t-
综上所述,S与x的函数关系式为:
当0<t≤时, S=5
当<t≤1时,S=5t
当1<t≤时,S=-5t2+15t
②当点E运动到点E′时,运动停止.如下图所示
∵∠CB′E′=∠BOC=90°,∠BCO=∠B′CE′
∴△BOC∽△E′B′C
∴
∵OB=2,B′E′=BC=
∴
∴CE′=
∴OE′=OC+CE′=1+=
∴E′(0,)
由点E(-3,2)运动到点E′(0, ),可知整条抛物线向右平移了3个单位,向上平移了个单位.
∵=
∴原抛物线顶点坐标为(, )
∴运动停止时,抛物线的顶点坐标为(, )