题目内容

【题目】如图1,在直角坐标系中,已知点A02)、点B-20),过点B和线段OA的中点C作直线BC,以线段BC为边向上作正方形BCDE.

1)填空:点D的坐标为_________,点E的坐标为_______________.

2)若抛物线经过ADE三点,求该抛物线的解析式.

3)若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移,直至正方形的顶点E落在轴上时,正方形和抛物线均停止运动.

①在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为,求关于平移时间(秒)的函数关系式,并写出相应自变量的取值范围.

②运动停止时,求抛物线的顶点坐标.

【答案】(1)D的坐标为(-1,3),E的坐标为(-3,2);

(2)抛物线的解析式为

3Sx的函数关系式为:

0t≤, S=5

t≤1时,S=5t

1t≤时,S=-5t2+15t

②抛物线的顶点坐标是( ).

【解析】1D-13)、E-32)(2分)

2)抛物线经过(02)、(-13)、(-32),则

解得

3①当点D运动到y轴上时,t=.

0t≤时,如右图

D′C′y轴于点F

tanBCO= =2,又∵∠BCO=FCC′

tanFCC′=2, =2

CC′= t,FC′=2t.

SCC′F =CC′·FC′= t=5 t2

当点B运动到点C时,t=1.t≤1时,如右图

D′E′y轴于点G,过GGHB′C′H.

RtBOC中,BC=

GH= ,CH=GH=

CC′=t,HC′=t-,GD′=t-

S梯形CC′D′G =(t-+ t) =5t-

当点E运动到y轴上时,t=.

1t≤时,如右图所示

D′E′E′B′分别交y轴于点MN

CC′=tB′C′=,

CB′=t-,B′N=2CB′=t-

B′E′=,E′N=B′E′-B′N=-t

E′M=E′N=(-t)

SMNE′ =(-t)· (-t)=5t2-15t+

S五边形B′C′D′MN =S正方形B′C′D′E′ -SMNE′ = (5t2-15t+)=-5t2+15t-

综上所述,Sx的函数关系式为:

0t≤, S=5

t≤1时,S=5t

1t≤时,S=-5t2+15t

②当点E运动到点E′时,运动停止.如下图所示

∵∠CB′E′=BOC=90°BCO=B′CE′

∴△BOC∽△E′B′C

OB=2B′E′=BC=

CE′=

OE′=OC+CE′=1+=

E′0

由点E-32)运动到点E′0 ,可知整条抛物线向右平移了3个单位,向上平移了个单位.

=

∴原抛物线顶点坐标为(

∴运动停止时,抛物线的顶点坐标为(

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