Question

【题目】如图，已知点A、C在双曲线上，点 B、D在双曲线上，AD// BC//y 轴.

(I)当m=6，n=-3，AD=3 时，求此时点 A 的坐标；

(II)若点A、C关于原点O对称，试判断四边形 ABCD的形状，并说明理由；

(III)若AD=3，BC=4，梯形ABCD的面积为，求mn 的最小值.

Answer 1

【答案】(I) 点的坐标为；(II) 四边形是平行四边形，理由见解析；(III) 的最小值是.

【解析】

(I)由，，可得，.分别表示出点A、D的坐标，根据，即可求出点A的坐标.

(II)根据点A、C关于原点O对称，设点A的坐标为：，即可分别表示出B、C、D的坐标，然后可得出与互相平分可证明出四边形是平行四边形.

(III) 设与的距离为，由，，梯形的面积为，可求出h=7，根据，，可得，进而得出答案.

(I) ∵，，∴，，

设点的坐标为，则点的坐标为，

由得：，解得：，

∴此时点的坐标为.

(II)四边形是平行四边形，理由如下：

设点的坐标为，

∵点、关于原点对称，∴点的坐标为，

∵∥∥轴，且点、在双曲线上，，

∴点 ，点 ，

∴点B与点D关于原点O对称，即，且、、三点共线.

又点、C关于原点O对称，即，且、、三点共线.

∴与互相平分.

∴四边形是平行四边形.

(III)设与的距离为，，，梯形的面积为，

∴，即，解得：，

设点的坐标为，则点，，，

由，，可得：，

则，，

∴，解得：，

∴，

∵.

∴ .

∴，即 .

又，，

∴当 取到等号 .

即，时， 的最小值是.