Question

如图，在直角坐标系中，M为x轴上一点，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P为BC上的一个动点，CQ平分∠PCD，且A（-1，0），M（1，0）．
（1）求C点的坐标；
（2）当P点运动时，线段AQ的长度是否改变？若不变，请求其值；若改变请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接MC．
由A（-1，0），M（1，0）可知，
OA=OM=1，MA=CM=2，
在Rt△OCM中，OM=1，CM=2，
根据勾股定理得：OC==，
∴点C的坐标是（0，）；  

（2）当P点运动时，线段AQ的长度不改变．    
由垂径定理知：=，
∴∠P=∠ACD，
∵CQ平分∠PCD，
∴∠P+∠PCQ=∠ACD+∠DCQ，
即：∠ACQ=∠AQC，
∴AQ=AC．
在Rt△OCA中，OC=，OA=1，
∴AC=2．
线段AQ的长度为2．
分析：（1）连接MC，由A、M的坐标可得出OA、OM、以及MA的值，再在Rt△OCM中，OC=，从而求出点C的坐标；
（2）作辅助线，连接AC，根据圆周角推论，等弧所对的圆周角相等，可得：∠ACD=∠P，又CQ平分∠OCP，可得：∠PCQ=∠OCQ，故：∠ACD+∠OCQ=∠PCQ+∠P，即∠ACQ=∠AQC，所以AQ=AC=2为定值；
点评：本题考查垂径定理的应用．解此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．