Question

【题目】阅读下列材料并完成任务：

“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题.其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦.他精通数学、物理，聪慧过人.有一天，一位将军向他请教一个问题：如图1，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？

海伦认为以河边为镜面，画出甲地的镜像点（垂直河边的等距离点），然后连接乙地和甲地的镜像点，会跟河边相交一点，这个点就是马饮水的地方，马走的路程最短（两点之间直线距离最短）.

任务：

（1）请你帮海伦在图1的位置完成作图，并标出马饮水的地点（画出草图即可）；

（2）如图2，的三个顶点的坐标分别为，，.请你在轴上找一点，使得最小，并直接写出点的坐标（保留作图痕迹）；

应用：

（3）如图3，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿处的点处，点与的水平距离等于底面直径，求蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）图详见解析，点的坐标为；（3）蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为.

【解析】

（1）根据在河边上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与河边线的交点就是所要找的点．

（2）找出C的对称点C′，连接BC′，与x轴交点即为Q；

（3）将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．

解：（1）如答图1即为所作图形.

（2）如答图2，点即为所求.

点的坐标为

（3）如答图3是杯子的侧面的部分展开图，

设点为杯子侧面展开图上边沿的中点，作点关于上边沿的对称点，

连接，则即为最短距离，

设与展开图的上边缘交于点，过点作，且与的延长线交于点，

则，

.

在中，

.

∴蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为.