题目内容

【题目】九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生,他在学习完第二十四章圆后,在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理(圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等),非常好奇,仔细阅读原来就是:PAPB=PCPD,小刚很想知道是如何证明的,可异证明部分污损看不清了,只看到辅助线的做法,分别连结AC、BD.聪明的你一定能帮他证出,请在图1中做出辅助线,并写出详细的证明过程.

小刚又看到一道课后习题,如图2,AB是⊙O弦,P是AB上一点,AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,求⊙O的半径,愁坏了小刚,乐于助人的你肯定会帮助他,请写出详细的证明过程.

【答案】(1)见解析;(2)⊙O的半径R为7.

【解析】

(1)连结AC,BD,根据圆周角定理得到∠C=BA=D,再根据三角形相似的判定定理得到APC∽△DPB,利用相似三角形的性质得AP:DP=CP:BP,变形有APBP=CPDP;由此得到相交弦定理;
(2)由AB=10,PA=4,OP=5,易得PB=10-4=6,PC=OC-OP=R-5,PD=OD+OP=R+5,根据相交弦定理得到PAPB=PCPD,即4×6=(R-5)×(R+5),解方程即可得到R的值.

(1)圆的两条弦相交,这两条弦被交点分成的两条线段的积相等.

已知,如图1,⊙O的两弦AB、CD相交于E,

求证:APBP=CPDP.

证明如下:

连结AC,BD,如图1,

∵∠C=∠B,∠A=∠D,

∴△APC∽△DPB,

∴AP:DP=CP:BP,

∴APBP=CPDP;

所以两条弦相交,被交点分成的两条线段的积相等.

(2)过P作直径CD,如图2,

∵AB=10,PA=4,OP=5,

∴PB=10﹣4=6,PC=OC﹣OP=R﹣5,PD=OD+OP=R+5,

由(1)中结论得,PAPB=PCPD,

∴4×6=(R﹣5)×(R+5),

解得R=7(R=﹣7舍去).

所以⊙O的半径R=7.

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