Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B两点， 与y轴交于点C（0，2）， 抛物线的对称轴交x轴于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求sin∠ABC的值；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时线段EF最长？求出此时E点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）解析式为；

（2）；

（3）存在，点P的坐标为（， ）、（，4）或（，－）．

（4）当点E坐标为（2，1）时，线段EF最长．

【解析】试题分析: （1）把A（-1，0），C（0，2）代入y=-x2+bx+c列方程组即可．

（2）令y=0，求出x的值，可确定点B的坐标，然后由点B、C的坐标，利用勾股定理可求出BC的长，即可求sin∠ABC的值；

（3）由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；

（4）设出E点的坐标为（x，-x+2），就可以表示出F的坐标，进而求出EF的长，由二次函数的性质可求出答案．

试题解析：（1）∵抛物线过点A（-1，0），C（0，2），

∴b=,c=2．

∴解析式为．

(2)∵点B的坐标为（4，0），

∴BC=．

．

(3)存在．

∵点D的坐标为（，0），

．

∴点P的坐标为（， ）、（，4）或（，－ ）．

(4)设直线BC的解析式为

∵B、C两点坐标分别为（4，0）、（0，2），

∴4m+n=0,n=2,

∴m=,n=2

∴直线BC的解析式为．

设E点坐标为,则F点坐标为

∴当点E坐标为（2，1）时，线段EF最长．