题目内容
【题目】如图所示,正比例函数 的图象与反比例函数
在第一象限的图象交于点
,过点
作
轴的垂线,垂足为
,已知△OAM的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)如果点 为反比例函数在第一象限图象上的点(点
与点
不重合),且点
的横坐标为1,在
轴上求一点
,使
最小.
【答案】
(1)解:设A点的坐标为( ,
),
则 .∴
.
∵ ,∴
.∴
.
∴反比例函数的解析式为
(2)解: 由 得
或
∴A为
.
设A点关于 轴的对称点为C,则C点的坐标为
.
如要在 轴上求一点P,使PA+PB最小.则P点应为BC和x轴的交点,如图所示.
令直线BC的解析式为 .
∵B为(1,2),∴ ∴
∴BC的解析式为 .
当 时,
.∴P点坐标为
.
【解析】(1)根据反比例函数k的几何意义,由已知△OAM的面积为1,设A点的坐标为( a , b ),得出 a b = 1,即可求出k(k>0)的值,从而得出反比例函数的解析式。
(2)此题是在 x 轴上求一点 P ,使 P A + P B 最小,根据轴对称的性质,先作出A点关于 x 轴的对称点为C,连接BC交x轴于点P,可得出点C的坐标,再求出直线BC的函数解析式,根据y=0,求出对应的自变量的值,即可得出点P的坐标。
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识,掌握确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法,以及对反比例函数的性质的理解,了解性质:当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y值随x值的增大而减小; 当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y值随x值的增大而增大.
