Question

【题目】如图所示，正比例函数 的图象与反比例函数 在第一象限的图象交于点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，已知△OAM的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点 为反比例函数在第一象限图象上的点（点 与点 不重合），且点 的横坐标为1，在 轴上求一点 ，使 最小.

Answer 1

【答案】
（1）解：设A点的坐标为（ ， ），

则 .∴ .

∵ ,∴ .∴ .

∴反比例函数的解析式为

（2）解： 由 得 或 ∴A为 .

设A点关于 轴的对称点为C，则C点的坐标为 .

如要在 轴上求一点P，使PA+PB最小.则P点应为BC和x轴的交点，如图所示.

令直线BC的解析式为 .

∵B为（1，2），∴ ∴

∴BC的解析式为 .

当 时， .∴P点坐标为 .

【解析】（1）根据反比例函数k的几何意义，由已知△OAM的面积为1，设A点的坐标为（ a ， b ），得出 a b = 1，即可求出k（k＞0）的值，从而得出反比例函数的解析式。
（2）此题是在 x 轴上求一点 P ，使 P A + P B 最小，根据轴对称的性质，先作出A点关于 x 轴的对称点为C，连接BC交x轴于点P，可得出点C的坐标，再求出直线BC的函数解析式，根据y=0，求出对应的自变量的值，即可得出点P的坐标。
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法，以及对反比例函数的性质的理解，了解性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．