Question

【题目】如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．

（1）求AC、AD的长；

（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 5cm；5cm；(2) 直线PC与⊙O相切，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）连接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以Rt△ABD是直角等腰三角形，求出AD，

（2）连接OC，由角的关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切．

试题解析：（1）①如图，连接BD，

∵AB是直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在Rt△ABC中，

AC=（cm），

②∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴，

∴AD=BD，

∴Rt△ABD是直角等腰三角形，

∴AD=AB=×10=5cm；

（2）直线PC与⊙O相切，

理由：连接OC，

∵OC=OA，

∴∠CAO=∠OCA，

∵PC=PE，

∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACE=∠ECB，

∴∠PCB=∠CAO=∠ACO，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，

即OC⊥PC，

∴直线PC与⊙O相切．