Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，D是BC边上的一点，OC：CD＝5：3，DB＝6．反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，交AB于点E，AE：BE＝1：2．

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）动点P在矩形OABC内，且满足S△PAO＝S四边形OABC．

①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；

②若点Q是平面内一点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）①（ ，4）；②（6，9）或（9﹣2 ，﹣1）．

【解析】

（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m﹣6，n），利用反比例函数图像上的点的坐标特征可求出m的值，之后进一步求出n的值，然后进一步求解即可；

（2）根据三角形的面积公式与矩形的面积公式结合S△PAO＝S四边形OABC即可进一步求出P的纵坐标.①若点P在这个反比例函数的图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；②由点A，B的坐标及点P的总坐标可得出AP≠BP，进而可得出AB不能为对角线，设点P的坐标为（t，4），分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑：（i）当AB＝AP时，利用两点间的距离公式可求出t值，进而可得出点P1的坐标，结合P1Q1的长可求出点Q1的坐标；（ii）当BP＝AB时，利用两点间的距离公式可求出t值，进而可得出点P2的坐标，结合P2Q2的长可求出点Q2的坐标．

（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m﹣6，n）．

∵点D，E在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，

∴k＝mn＝（m﹣6）n，

∴m＝9．

∵OC：CD＝5：3，

∴n：（m﹣6）＝5：3，

∴n＝5，

∴k＝mn＝×9×5＝15，

∴反比例函数的表达式为y＝．

（2）∵S△PAO＝S四边形OABC，

∴OAyP＝OAOC，

∴yP＝OC＝4．

当y＝4时，＝4，

解得：x＝，

∴若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为（，4）．

②由（1）可知：点A的坐标为（9，0），点B的坐标为（9，5），

∵yP＝4，yA+yB＝5，

∴，

∴AP≠BP，

∴AB不能为对角线．

设点P的坐标为（t，4）．

分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑（如图所示）：

（i）当AB＝AP时，（9﹣t）2+（4﹣0）2＝52，

解得：t1＝6，t2＝12（舍去），

∴点P1的坐标为（6，4）．

又∵P1Q1＝AB＝5，

∴点Q1的坐标为（6，9）；

（ii）当BP＝AB时，（9﹣t）2+（5﹣4）2＝52，

解得：t3＝9﹣2，t4＝9+2（舍去），

∴点P2的坐标为（9﹣2，4）．

又∵P2Q2＝AB＝5，

∴点Q2的坐标为（9﹣2，﹣1）．

综上所述：点Q的坐标为（6，9）或（9﹣2，﹣1）．