题目内容

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF.

（1）写出图中所有的全等三角形；

（2）求证：BE=DF.

【答案】（1）图中全等的图形有：△ADF≌△CBE，△ABE≌△CDF，△ABC≌△DCA；

（2）证明见解析．

【解析】

试题（1）根据三角形全等的判定定理及平行四边形的性质，结合图形即可得出答案．

（2）可以把结论涉及的线段BE，DF放到△AEB和△CFD中，证明这两个三角形全等即可．

试题解析：（1）图中全等的图形有：△ADF≌△CBE，△ABE≌△CDF，△ABC≌△DCA；

（2）∵ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，

又∵AE=CF，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴BE=DF．

练习册系列答案
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小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　；

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

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因为 GH 平分∠AGF，MN 平分∠CMG（ ），

所以∠1＝ ∠AGF，∠2＝ ∠CMG（ ），

得∠1+∠2＝（∠AGF+∠CMG）＝ ，

所以 GH⊥MN（ ）．

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试说明：AC∥DF．

证明：∵∠1＝∠2（已知）

∠1＝∠3，∠2＝∠4（ ）

∴∠3＝∠4（ ）

∴ ∥ （ ）

∴∠C＝∠ABD（ ）

又∵∠C＝∠D（已知 ）

∴∠D＝∠ABD（等量代换）

∴AC∥DF（ ）

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