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若关于
的方程
是一元一次方程,则方程的解是
。
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得到
,所以
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(1)新人教版初中数学教材中我们学习了:若关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0的两根为x
1
,x
2
,则
x
1
+
x
2
=-
b
a
,
x
1
•
x
2
=
c
a
.根据这一性质,我们可以求出已知方程关于x
1
,x
2
的代数式的值.例如:已知x
1
,x
2
为方程x
2
-2x-1=0的两根,则x
1
+x
2
=
,x
1
•x
2
=
.那么x
1
2
+x
2
2
=(x
1
+x
2
)
2
-2x
1
x
2
=
.
请你完成以上的填空.
(2)阅读材料:已知m
2
-m-1=0,n
2
+n-1=0,且mn≠1.求
mn+1
n
的值.
解:由n
2
+n-1=0可知n≠0.
∴
1+
1
n
-
1
n
2
=0
.∴
1
n
2
-
1
n
-1=0
又m
2
-m-1=0,且mn≠1,即
m≠
1
n
.
∴m,
1
n
是方程x
2
-x-1=0的两根.∴
m+
1
n
=1
.∴
mn+1
n
=1.
(3)根据阅读材料所提供的方法及(1)的方法完成下题的解答.
已知2m
2
-3m-1=0,n
2
+3n-2=0,且mn≠1.求
m
2
+
1
n
2
的值.
(2013•兰州一模)若x
1
,x
2
是关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)的两个根,则方程的两个根x
1
,x
2
和系数a,b,c有如下关系:x
1
+x
2
=-
b
a
,x
1
•x
2
=
c
a
,把它们称为一元二次方程根与系数关系定理,请利用此定理解答一下问题:
已知x
1
,x
2
是一员二次方程(m-3)x
2
+2mx+m=0的两个实数根.
(1)是否存在实数m,使-x
1
+x
1
x
2
=4+x
2
成立?若存在,求出m的值,若不存在,请你说明理由;
(2)若|x
1
-x
2
|=
3
,求m的值和此时方程的两根.
先阅读,再填空解答:
方程x
2
-3x-4=0的根为x
1
=-1,x
2
=4,x
1
+x
2
=3,x
1
x
2
=-4;
方程3x
2
+10x+8=0的根为
x
1
=-2,
x
2
=-
4
3
,
x
1
+
x
2
=-
10
3
,
x
1
x
2
=
8
3
.
(1)方程2x
2
+x-3=0的根是x
1
=
-
3
2
-
3
2
,x
2
=
1
1
,x
1
+x
2
=
-
1
2
-
1
2
,x
1
x
2
=
-
3
2
-
3
2
.
(2)若x
1
,x
2
是关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,那么x
1
+x
2
,x
1
x
2
与系数a、b、c的关系是:x
1
+x
2
=
-
b
a
-
b
a
,x
1
x
2
=
c
a
c
a
.
(3)当你轻松解决以上问题时,试一试下面这个问题:甲、乙两同学解方程x
2
+px+q=0时,甲看错了一次项系数,得根2和7,乙看错了常数项,得根1和-10,则原方程中的p、q到底是多少?你能写出原来的方程吗?
我们知道若关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)有一根是1,则a+b+c=0,那么如果9a+c=3b,则方程ax
2
+bx+c=0有一根为
x=-3
x=-3
.
以下关于一元二次方程
的根的说法中,正确的是
[ ]
A.若
,则方程
必有一根为-1
B.若
,则方程
必有一根为1
C.若
,则方程
必有两个不相等的实数根
D.若b=0,则方程
一定有两个实数根,并且这两根互为相反数
关 闭
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