题目内容
【题目】如图乙,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点.
(1)如图甲,将△ADE绕点A旋转,当C、D、E在同一条直线上时,连接BD、BE,则下列给出的四个结论中,其中正确的是哪几个 .(回答直接写序号)
①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE2=2(AD2+AB2)
(2)若AB=6,AD=3,把△ADE绕点A旋转:
①当∠CAE=90°时,求PB的长;
②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值.
【答案】(1)①②③;(2)①PB=或
;②PB长的最大值是3
+3,PB长的最小值是3
﹣3.
【解析】
(1)①由条件证明△ABD≌△ACE,就可以得到结论②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE,就可以得出∠BDC=90°,进而得出结论;③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°,由∠ABD=∠ACE就可以得出结论;④△BDE为直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2,由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2,BC2=2AB2,就有BC2=BD2+CD2≠BD2就可以得出结论.
(2)①分两种情形a、如图乙﹣1中,当点E在AB上时,BE=AB﹣AE=3.由△PEB∽△AEC,得,由此即可解决问题.b、如图乙﹣2中,当点E在BA延长线上时,BE=9.解法类似.
②a、如图乙﹣3中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在⊙A上方与⊙A相切时,PB的值最大.b、如图乙﹣4中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在⊙A下方与⊙A相切时,PB的值最小,分别求出PB即可.
(1)解:如图甲:
①∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∴①正确.
②∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.
∵∠CAB=90°,
∴∠ABD+∠AFB=90°,
∴∠ACE+∠AFB=90°.
∵∠DFC=∠AFB,
∴∠ACE+∠DFC=90°,
∴∠FDC=90°.
∴BD⊥CE,∴②正确.
③∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ABD+∠DBC=45°.
∴∠ACE+∠DBC=45°,∴③正确.
④∵BD⊥CE,
∴BE2=BD2+DE2,
∵∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,
∴DE2=2AD2,BC2=2AB2,
∵BC2=BD2+CD2≠BD2,
∴2AB2=BD2+CD2≠BD2,
∴BE2≠2(AD2+AB2),∴④错误.
故答案为①②③.
(2)①解:a、如图乙﹣1中,当点E在AB上时,BE=AB﹣AE=3.
∵∠EAC=90°,
∴CE=,
同(1)可证△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠PEB=∠AEC,
∴△PEB∽△AEC.
∴,
∴,
∴PB=.
b、如图乙﹣2中,当点E在BA延长线上时,BE=9.
∵∠EAC=90°,
∴CE=,
同(1)可证△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠BEP=∠CEA,
∴△PEB∽△AEC,
∴,
∴,
∴PB=.
综上,PB=或
.
②解:a、如图乙﹣3中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在⊙A上方与⊙A相切时,PB的值最大.
理由:此时∠BCE最大,因此PB最大,(△PBC是直角三角形,斜边BC为定值,∠BCE最大,因此PB最大)
∵AE⊥EC,
∴EC=,
由(1)可知,△ABD≌△ACE,
∴∠ADB=∠AEC=90°,BD=CE=3,
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°,
∴四边形AEPD是矩形,
∴PD=AE=2,
∴PB=BD+PD=3+3.
综上所述,PB长的最大值是3+3.
b、如图乙﹣4中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在⊙A下方与⊙A相切时,PB的值最小.
理由:此时∠BCE最小,因此PB最小,(△PBC是直角三角形,斜边BC为定值,∠BCE最小,因此PB最小)
∵AE⊥EC,
∴EC=,
由(1)可知,△ABD≌△ACE,
∴∠ADB=∠AEC=90°,BD=CE=3,
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°,
∴四边形AEPD是矩形,
∴PD=AE=4,
∴PB=BD﹣PD=3﹣3.
综上所述,PB长的最小值是3﹣3.
