题目内容

【题目】如图乙,ABCADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE90°,点P为射线BDCE的交点.

1)如图甲,将ADE绕点A旋转,当CDE在同一条直线上时,连接BDBE,则下列给出的四个结论中,其中正确的是哪几个   .(回答直接写序号)

BDCE;②BDCE;③∠ACE+DBC45°;④BE22AD2+AB2

2)若AB6AD3,把ADE绕点A旋转:

①当∠CAE90°时,求PB的长;

②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值.

【答案】1)①②③;(2)①PB;②PB长的最大值是3+3PB长的最小值是33

【解析】

1由条件证明△ABD≌△ACE,就可以得到结论由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE,就可以得出∠BDC90°,进而得出结论;由条件知∠ABC=∠ABD+DBC45°,由∠ABD=∠ACE就可以得出结论;BDE为直角三角形就可以得出BE2BD2+DE2,由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE22AD2BC22AB2,就有BC2BD2+CD2BD2就可以得出结论.

2分两种情形a、如图乙﹣1中,当点EAB上时,BEABAE3.由△PEB∽△AEC,得,由此即可解决问题.b、如图乙﹣2中,当点EBA延长线上时,BE9.解法类似.

a、如图乙﹣3中,以A为圆心AD为半径画圆,当CEA上方与A相切时,PB的值最大.b、如图乙﹣4中,以A为圆心AD为半径画圆,当CEA下方与A相切时,PB的值最小,分别求出PB即可.

1)解:如图甲:

∵∠BAC=∠DAE90°,

∴∠BAC+DAC=∠DAE+DAC

即∠BAD=∠CAE

在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACESAS),

BDCE,∴正确.

∵△ABD≌△ACE

∴∠ABD=∠ACE

∵∠CAB90°,

∴∠ABD+AFB90°,

∴∠ACE+AFB90°.

∵∠DFC=∠AFB

∴∠ACE+DFC90°,

∴∠FDC90°.

BDCE,∴正确.

∵∠BAC90°,ABAC

∴∠ABC45°,

∴∠ABD+DBC45°.

∴∠ACE+DBC45°,∴正确.

BDCE

BE2BD2+DE2

∵∠BAC=∠DAE90°,ABACADAE

DE22AD2BC22AB2

BC2BD2+CD2BD2

2AB2BD2+CD2BD2

BE22AD2+AB2),∴错误.

故答案为①②③

2解:a、如图乙﹣1中,当点EAB上时,BEABAE3

∵∠EAC90°,

CE

同(1)可证△ADB≌△AEC

∴∠DBA=∠ECA

∵∠PEB=∠AEC

∴△PEB∽△AEC

PB

b、如图乙﹣2中,当点EBA延长线上时,BE9

∵∠EAC90°,

CE

同(1)可证△ADB≌△AEC

∴∠DBA=∠ECA

∵∠BEP=∠CEA

∴△PEB∽△AEC

PB

综上,PB

解:a、如图乙﹣3中,以A为圆心AD为半径画圆,当CEA上方与A相切时,PB的值最大.

理由:此时∠BCE最大,因此PB最大,(△PBC是直角三角形,斜边BC为定值,∠BCE最大,因此PB最大)

AEEC

EC

由(1)可知,△ABD≌△ACE

∴∠ADB=∠AEC90°,BDCE3

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP90°,

∴四边形AEPD是矩形,

PDAE2

PBBD+PD3+3

综上所述,PB长的最大值是3+3

b、如图乙﹣4中,以A为圆心AD为半径画圆,当CEA下方与A相切时,PB的值最小.

理由:此时∠BCE最小,因此PB最小,(△PBC是直角三角形,斜边BC为定值,∠BCE最小,因此PB最小)

AEEC

EC

由(1)可知,△ABD≌△ACE

∴∠ADB=∠AEC90°,BDCE3

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP90°,

∴四边形AEPD是矩形,

PDAE4

PBBDPD33

综上所述,PB长的最小值是33

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