题目内容

为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担,李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯,已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数:y=-10x+500.
⑴李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?
⑵设李明获得的利润为W(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
⑶物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元,如果李明想要每月获得的利润不低于3000元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?

(1)600;(2)30;(3)500.

解析试题分析:(1)根据销售额=销售量×销售单价,列出函数关系式;
(2)用配方法将(2)的函数关系式变形,利用二次函数的性质求最大值;
(3)把y=3000代入(2)的函数关系式中,解一元二次方程求x,根据x的取值范围求x的值.
试题解析:⑴当x=20时,y=-10x+500=-10×20+500=300,
300×(12-10)=300×2=600,
即政府这个月为他承担的总差价为600元.
⑵依题意得,W=(x-10)(-10x+500)=-10x2+600x-5000=-10(x-30)2+4000
∵a=-10<0,∴当x=30时,W有最大值4000.
即当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000元.
⑶由题意得:-10x2+600x-5000=3000,解得:x1=20,x2=40.
∵a=-10<0,抛物线开口向下,
∴结合图象可知:当20≤x≤40时,W≥3000.

又∵x≤25,
∴当20≤x≤25时,W≥3000.
设政府每个月为他承担的总差价为p元,
∴p=(12-10)×(-10x+500)
=-20x+1000.
∵k=-20<0.
∴p随x的增大而减小,∴当x=25时,p有最小值500.
即销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
考点: 二次函数的应用.

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