Question

已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）。

在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系。

（1）观察上述图形，连结图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE相等；

（2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F。

    ①若CF＝CD，求sin∠CAB的值；

    ②若，试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）。

 

（1）连结__________________

         求证：_________＝CE

         证明：

（2）解：①

             ②_____________（）

Answer 1

（1）证法一：如图3，连结OD

    ∵∠ABC＝90°，CB的延长线交⊙O于点E

    ∴∠ABE＝90°    ∴AE是⊙O的直径

    ∵D是AC的中点，O是AE的中点

        ∴AE＝CE

证法二：如图4，连结BD

    在Rt△ABC中，∠ABC＝90°

∵D是AC的中点   

∴AD＝CD＝BD     ∴∠1＝∠2

 ∵四边形AEBD内接于⊙O   

∴∠1＝∠DAE    ∴∠2＝∠DAE    ∴AE＝CE

证法三：如图5，连结DE

同证法一，得AE是⊙O的直径    ∴∠ADE＝90°

∵D是AC的中点   

∴DE是线段AC的垂直平分线

    ∴AE＝CE

（2）①解法一：根据题意画出图形，如图6，连结DE。

    ∵EF是⊙O的切线

    ∴∠3＝∠4，且

   

    设，则

   

    ∵AE是⊙O的直径    ∴∠AEF＝90°

    在Rt△AEF中，

   

   

解法二：根据题意画出图形，如图7，连结DE。

∵AE是⊙O的直径，EF是⊙O的切线  

 ∴∠ADE＝∠AEF＝90°

    ∴Rt△ADE∽Rt△EDF

   

    设，则

   

    在Rt△CDE中

   

   

    ②（）