题目内容
【题目】如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求△PBQ的面积;
(2)当点Q在边BC上运动时,出发几秒钟后,△PQB能形成等腰三角形?
(3)当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
【答案】(1)S△PBQ=;(2)出发
秒钟后,△PQB能形成等腰三角形 ;(3)当t为11秒或12秒或13.2秒时,△BCQ为等腰三角形.
【解析】
(1)根据点P、Q的速度求出AP、BQ的长,再求出BP的长,利用三角形面积公式计算即可;(2)设出发t秒钟后,△PQB能形成等腰三角形,则BP=BQ,由BQ=2t,BP=16-t,列式求得t即可;(3)当点Q在边CA上运动时,能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况:①当CQ=BQ时,则∠C=∠CBQ,可证明∠A=∠ABQ,则BQ=AQ,则CQ=AQ,从而求得t;②当CQ=BC时,则BC+CQ=12,易求得t;③当BC=BQ时,过B点作BE⊥AC于点E,则求出BE,CE,即可得出t.
(1)∵BQ=2×2=4(cm),AP=2×1=2cm,
BP=AB﹣AP=16﹣2=14(cm ),
∵∠B=90°,
∴S△PBQ=
(2)设出发t秒钟后,△PQB能形成等腰三角形,
BQ=2t,BP=16﹣t,
根据题意得:2t=16﹣t,
解得:t =,
即出发秒钟后,△PQB能形成等腰三角形.
(3)①当CQ=BQ时,如图1所示,
则∠C=∠CBQ,
∵∠ABC=90°,
∴∠CBQ +∠ABQ=90°.
∠A +∠C=90°,
∴∠A=∠ABQ,
∴BQ=AQ,
∴CQ=AQ=10,
∴BC+CQ=22,
∴t=22÷2=11秒.
②当CQ=BC时,如图2所示,
则BC+CQ=24,
∴t=24÷2=12秒.
③当BC=BQ时,如图3所示,过B点作BE⊥AC于点E,
∵AB=16cm,BC=12cm,
∴AC==20cm.
则,
∴,
∴CQ=2CE=14.4,
∴BC+CQ=26.4,
∴t=26.4÷2=13.2秒.
综上所述:当t为11秒或12秒或13.2秒时,△BCQ为等腰三角形.
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