Question

【题目】如图，为的直径，为弦的中点，连接并延长交弧于点，过点作，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）连接、、．填空

①当的度数为_______时，四边形为菱形；

②当时，四边形的面积为_______．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）①；②

【解析】

（1）根据为弦的中点证得FO⊥AC，再利用得到OD⊥DE即可得到结论；

（2）①连接、、，证明△AOD是等边三角形，得到DF=FO，证得四边形AOCD是平行四边形，再由AO=CO，即可得到四边形为菱形；

②连接CD，证明△AFO∽△ODE，得到，求出OD=2OF，DE=2AF，可证四边形ACDE是平行四边形，由勾股定理求出，即可求出四边形ACDE的面积.

证明：（1）为弦的中点，

，且过圆心．

，

又，

．

是切线

（2）①当=时，四边形AOCD是菱形，理由如下：

如图，连接、、，

∵=，OF⊥AC，

∴∠AOF=60°，

∵AO=DO，

∴△AOD是等边三角形，

∵AF⊥DO，

∴DF=FO，

∵AF=FC，

∴四边形AOCD是平行四边形，

∵AO=CO，

故答案为：；

②连接CD，

∵AC∥DE，

∴△AFO∽△ODE，

∴,

∴OD=2OF，DE=2AF，

∵AC=2AF，

∴DE=AC，且DE∥AC，

∴四边形ACDE是平行四边形，

∵OA=AE=OD=2，

∴OF=DF=1，OE=4，

∵在Rt△ODE中，,

∴四边形ACDE的面积=,

故答案为： .