Question

把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放（点C与E重合），点B，C（E），F在同一直线上，∠ACB=∠EFD=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=9
如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BA向点A匀速移动，当DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于Q，连接PE，PQ．设移动的时间为t（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）t为何值时，四边形APEC为梯形．
（2）以点Q为圆心，PQ为半径作⊙Q，当t为何值时，⊙O既与AB相切，又与BC相切？
（3）设四边形APEC的面积为y，求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使y的值最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使P，Q，F三点在同一直线上？若存在，求出此时t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：压轴题

分析：（1）当PE∥AC时，得出△BPE∽△BAC，进而求出t的值即可；
（2）当⊙Q既与AB相切，又与BC相切，则QP⊥AB且QC=QP，进而得出Rt△QPB≌Rt△QCB，即可得出；
（3）作PM⊥BC，将四边形的面积表示为S_△ABC-S_△BPE即可求解；
（4）假设存在符合条件的t值，由相似三角形的性质即可求得．

解答：解：（1）当PE∥AC时，四边形APEC是梯形，
在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，
∴△BPE∽△BAC，
∴

BP

AB

=

BE

BC

，
即

2t

10

=

6-t

6

，
解得：t=

30

11

，
∴当t=

30

11

时，四边形APEC是梯形；

（2）如图1，连接BQ，
∵⊙Q既与AB相切，又与BC相切，
∴QP⊥AB且QC=QP，
∵QC⊥BC，
∴在Rt△QPB与Rt△QCB中，

QP=QC BQ=BQ

，
∴Rt△QPB≌Rt△QCB（HL），
∴BP=BC，
即2t=6，
解得：t=3，
当t=3时，⊙Q既与AB相切，又与BC相切；

（3）如图2，过P作PM⊥BE，交BE于M
∴∠BMP=90°；
在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB=

AC

AB

=

PM

BP

，
∴

PM

2t

=

8

10

；
∴PM=

8

5

t；
∵BC=6，CE=t，∴BE=6-t；
∴y=S_△ABC-S_△BPE=

1

2

BC•AC-

1

2

BE×PM
=

1

2

×6×8-

1

2

（6-t）×

8

5

t
=

4

5

t²-

24

5

t+24
=

4

5

（t-3）²+

84

5

，
∵a=

4

5

，
∴抛物线开口向上；
∴当t=3时，y_最小=

84

5

；
答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为

84

5

cm²．

（4）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上；
如图3，过P作PN⊥AC，交AC于N
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；
∵∠PAN=∠BAC，
∴△PAN∽△BAC；
∴

PN

BC

=

AP

AB

=

AN

AC

；
∴

PN

6

=

10-2t

10

=

AN

8

，
∴PN=6-

6

5

t，AN=8-

8

5

t；
∵NQ=AQ-AN，
∴NQ=8-t-（8-

8

5

t）=

3

5

t
∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一条直线上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ；
∵∠FQC=∠PQN，
∴△QCF∽△QNP；
∴

PN

FC

=

NQ

CQ

，
∴

6- 6 5 t

9-t

=

3 5 t

t

；
解得：t₁=1，t₂=0（不合题意舍去），
答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和二次函数的最值问题等知识，利用数形结合得出△QCF∽△QNP是解题关键．