题目内容
【题目】已知到直线l的距离等于a的所有点的集合是与直线l平行且距离为a的两条直线l1、l2(如图①).
(1)在图②的平面直角坐标系中,画出到直线y=x+2的距离为1的所有点的集合的图形.并写出该图形与y轴交点的坐标.
(2)试探讨在以坐标原点O为圆心,r为半径的圆上,到直线y= x + 2的距离为1的点的个数与r的关系.
(3)如图③,若以坐标原点O为圆心,2为半径的圆上只有两个点到直线y= x + b的距离为1,则b的取值范围为 .
【答案】(1)画图见解析,(0,)和(0,3);(2)当0<r<1时,0个;当r=1时,1个;当1<r<3时,2个;当r=3时,3个;当3<r时,4个.(3)-3<b<-或<b<3.
【解析】
试题分析:(1)易证△AOB是等腰直角三角形,两直线之间的距离是1,则过B作l1的垂线,垂线段长是1,利用勾股定理求得BD的长,即可求得D的坐标,同理求得E的坐标;
(2)求出O到直线的距离,据此即可作出判断;
(3)首选求得到原点距离是1和3时直线对应的b的值,则b的范围即可求得.
试题解析:(1)如图,
y=x+2中令x=0时y=2,则B的坐标是(0,2),
令y=0,0=x+2,解得:x=-2,则A的坐标是(-2,0).
则OA=OB=2,即△ABC是等腰直角三角形,
过B作BC⊥l1于点C,则BC=1.
则△BCD是等腰直角三角形,BC=CD=1,
则BD=,即D的坐标是(0,3),
同理,E的坐标是(0,).
则与y轴交点的坐标为(0,)和(0,3);
(2)在等腰直角△AOB中,AB==.
过O作OF⊥AB于点F.则OF=AB=1.
当0<r<1时,0个;
当r=1时,1个;
当1<r<3时,2个;
当 r=3时,3个;
当3<r时,4个.
(3)OM是第一、三象限的角平分线,
当OM=2-1=1时,则l3与y轴的交点G,G的坐标是(0,),即b=,
同理当ON=3时,b=3,
当直线在原点O下方时,b=-和b=-3.
则当-3<b<-或<b<3时,2为半径的圆上只有两个点到直线y=x+b的距离为1.