题目内容
【题目】如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F, AD交CE于H.
(1)求证:∠CAD=∠CBE
(2)求证:FH∥BD.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】分析:(1)根据等边三角形的性质就可以得出AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,由SAS就可以得出△BCE≌△ACD,从而得出∠CAD=∠CBE;(2)FH与BD平行,由两边相等且一角为60°的三角形为等边三角形得到三角形FCH为等边三角形,利用等边三角形的性质得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行即可得证.
证明:(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°,
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,
∴在△BCE和△ACD中,∵ ,∴△BCE≌△ACD (SAS).
∴∠CAD=∠CBE
(2)由(1)知△BCE≌△ACD,则∠CBF=∠CAH,BC=AC
又∵△ABC和△CDE都是等边三角形,且点B、C、D在同一条直线上,
∴∠ACH=180°﹣∠ACB﹣∠HCD=60°=∠BCF,
在△BCF和△ACH中,∵ ,∴△BCF≌△ACH (ASA),∴CF=CH,
又∵∠FCH=60°,∴△CHF为等边三角形∴∠FHC=∠HCD=60°,∴FH∥BD.

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