题目内容

【题目】取一副三角板按如图所示拼接,固定三角板ADC,将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转,旋转角度为α(0°<α≤45°),得到△ABC′.

①当α为多少度时,ABDC?

②当旋转到图③所示位置时,α为多少度?

③连接BD,当0°<α≤45°时,探求∠DBC′+CAC′+BDC值的大小变化情况,并给出你的证明.

【答案】(1)当α=15°时,AB∥DC(2)α=45°;(3)详见解析.

【解析】

1)若AB∥DC,则∠BAC=∠C=30°,得到α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°;
(2)当旋转到图③所示位置时,α=45°,
(3)连接CC′,BD,BO,在BDOOCC′中,利用三角形内角和定理得到∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C,即可求得∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°,即得到∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变.

解:(1)当α=15°时,AB∥DC.

(2)当旋转到图③所示位置时,α=45°.

(3)当0°<α45°时,∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变.

证明:连接CC′,在BDOOCC′中,对顶角∠BOD=COC′,

∴∠1+∠2=∠3+∠4.

∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC

=∠2+∠α+∠1

180°―ACD―AC′B

180°―45°―30°

105°

∴当0°<α≤45°时,∠DBC′+CAC′+BDC值的大小不变

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