Question

已知在△ABC中，AB=AC，⊙O为△ABC的外接圆，CD为⊙O的直径，DM∥AC交AB于M．

（1）如图1，若∠BAC=60゜，求证：BD=

3

DM；
（2）如图2，延长DM交BC于E，CE=4，CD=10，求AM的长．

Answer 1

分析：（1）由题意易证△ABC是等边三角形，则CD是角平分线．根据平行线的性质和圆周角定理得到∠1=∠2=30°．然后通过解直角△DNM可以证得结论；
（2）如图2，延长DE交⊙O于点F，连接CF，AD．易证点A、O、F共线，四边形ACFD是矩形．设AF交交BC于点N，则根据垂径定理得到AN⊥BC，BN=NC．易证△CFE∽△ACF，则CF：AC=CE：AF=4：10=2：5，又CF²+AC²=AF²=100，CF²=AF•FN由此可以求得BC的长度；最后根据平行线分线段成比例可以求得线段AM的长度．

解答：证明：（1）如图1，过点M作MN⊥BD于点N．
∵CD是直径，
∴∠DBC=90°．
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60゜，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，且CD平分∠ACB，
∴∠DBA=∠3=∠4=30°．
∴DM=BM，
∴DN=BN．
∵DM∥AC，
∴∠2=∠4=30°．
又∵∠BDC=∠A=60°，
∴∠1=∠2=30°，
∴在直角△DNM中，DM=

3

2

BD，
∴BD=

3

DM；

（2）如图2，延长DE交⊙O于点F，连接CF，AD．
∵DM∥AC，即DF∥AC，
∴∠DFC+∠ACF=180°．
又∵CD是直径，
∴∠DFC=90°，
∴∠ACF=90°，
∴AF是直径，
∴点A、O、F共线．易证四边形ACFD是矩形．
设AF交交BC于点N，则AN⊥BC，BN=NC，
易证△CFE∽△ACF，则CF：AC=CE：AF=4：10=2：5，
又CF²+AC²=AF²=100，
解得AC=

50 29

29

，CF=

20 29

29

，又CF²=CN•CE
∴CN=

100

29

，EN=CE-CN=

16

29

，
∴BC=2CN=

200

29

，
又∵AM：AB=CE：CB，
∴AM=

29

．

点评：本题考查了圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度较大．