题目内容

为了迎接“十•一”小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表:
运动鞋
价格
进价(元/双)mm-20
售价(元/双)240160
已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
(1)求m的值;
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,且不超过22300元,问该专卖店有几种进货方案?
(3)在(2)的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货?
(1)依题意得,
3000
m
=
2400
m-20

整理得,3000(m-20)=2400m,
解得m=100,
经检验,m=100是原分式方程的解,
所以,m=100;

(2)设购进甲种运动鞋x双,则乙种运动鞋(200-x)双,
根据题意得,
(240-100)x+(160-80)(200-x)≥21700①
(240-100)x+(160-80)(200-x)≤22300②

解不等式①得,x≥95,
解不等式②得,x≤105,
所以,不等式组的解集是95≤x≤105,
∵x是正整数,105-95+1=11,
∴共有11种方案;

(3)设总利润为W,则W=(240-100-a)x+80(200-x)=(60-a)x+16000(95≤x≤105),
①当50<a<60时,60-a>0,W随x的增大而增大,
所以,当x=105时,W有最大值,
即此时应购进甲种运动鞋105双,购进乙种运动鞋95双;
②当a=60时,60-a=0,W=16000,(2)中所有方案获利都一样;
③当60<a<70时,60-a<0,W随x的增大而减小,
所以,当x=95时,W有最大值,
即此时应购进甲种运动鞋95双,购进乙种运动鞋105双.
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