Question

为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：

运动鞋 价格	甲	乙
进价（元/双）	m	m-20
售价（元/双）	240	160

已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价-进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

Answer 1

（1）依题意得，

3000

m

=

2400

m-20

，
整理得，3000（m-20）=2400m，
解得m=100，
经检验，m=100是原分式方程的解，
所以，m=100；

（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200-x）双，
根据题意得，

(240-100)x+(160-80)(200-x)≥21700① (240-100)x+(160-80)(200-x)≤22300②

，
解不等式①得，x≥95，
解不等式②得，x≤105，
所以，不等式组的解集是95≤x≤105，
∵x是正整数，105-95+1=11，
∴共有11种方案；

（3）设总利润为W，则W=（240-100-a）x+80（200-x）=（60-a）x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60-a＞0，W随x的增大而增大，
所以，当x=105时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当a=60时，60-a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样；
③当60＜a＜70时，60-a＜0，W随x的增大而减小，
所以，当x=95时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．