Question

已知：如图，点B在y轴的负半轴上，点A在x轴的正半轴上，且OA=2，tan∠OAB=2．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）若点C的坐标为（-2，0），在直线AB上是否存在一点P，使△APC与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，
tan∠OAB=

OB

OA

，
∵OA=2，tan∠OAB=2，
∴OB=4，
∵点B在y轴的负半轴上，
∴B（0，-4），

（2）∵OA=2，
∴A（2，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-4=b 0=2k+b

，
∴

k=2 b=-4

，
∴直线AB的解析式为y=2x-4；

（3）过C作P₁C∥OB交AB于P₁
这时△APC与△AOB相似，
当x=-2时，y=-8，
则P₁（-2，-8），
过C作P₂C⊥AB交AB于P₂，过P₂作P₁D⊥AC于D，
由△AOB∽△ACP₂，求出AP₂=

4 5

5

，
由△AOB∽△ADP₂，求出AD=

4

5

，
则OD=

6

5

，
当x=

6

5

时，y=-

8

5

，
则P₁（

6

5

，-

8

5

），
存在点P₁（-2，-8）或（

6

5

，-

8

5

），使△APC与△AOB相似．