Question

已知，如图，PA切⊙O于A，△ABC为⊙O的内接三角形，CA∥EP，AB、CB的延长线分别交DP于点D、E．
（1）求证：DE•DP=DA•DB．
（2）若AB=4，AC=6，DB=3，求DP的长．

Answer 1

（1）证明：∵CA∥EP，
∴∠C=∠DEB，∠D=∠CAD，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠DAP=∠C，
∴∠DAP=∠DEB，
∴△BDE∽△PDA，
∴=，
∴DE•DP=DA•DB；

（2）解：∵CA∥EP，
∴△BDE∽△BAC，
则=，
∵AB=4，AC=6，DB=3，
∴DE=，
∵DE•DP=DA•DB，
∴DP===．
分析：（1）根据题意可证得△BDE∽△PDA，从而得出DE•DP=DA•DB；
（2）可证得△BDE∽△BAC，则=，从而求得DE，
点评：本题是一道和圆有关的题目，考查了相似三角形的判定和性质，以及切线的性质，是中考压轴题，难度较大．