Question

已知，如图，PA切⊙O于A，△ABC为⊙O的内接三角形，CA∥EP，AB、CB的延长线分别交DP于点D、E．
（1）求证：DE•DP=DA•DB．
（2）若AB=4，AC=6，DB=3，求DP的长．

Answer 1

分析：（1）根据题意可证得△BDE∽△PDA，从而得出DE•DP=DA•DB；
（2）可证得△BDE∽△BAC，则

AC

DE

=

AB

BD

，从而求得DE，

解答：（1）证明：∵CA∥EP，
∴∠C=∠DEB，∠D=∠CAD，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠DAP=∠C，
∴∠DAP=∠DEB，
∴△BDE∽△PDA，
∴

BD

DP

=

DE

DA

，
∴DE•DP=DA•DB；

（2）解：∵CA∥EP，
∴△BDE∽△BAC，
则

AC

DE

=

AB

BD

，
∵AB=4，AC=6，DB=3，
∴DE=

9

2

，
∵DE•DP=DA•DB，
∴DP=

DA•DB

DE

=

7×3

9 2

=

14

3

．

点评：本题是一道和圆有关的题目，考查了相似三角形的判定和性质，以及切线的性质，是中考压轴题，难度较大．