Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），B（4，8），C（0，8），连接AB，BC，点P在x轴上，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C向点C运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设P，M两点运动的时间为t秒．

（1）求AB长；
（2）设△PAM的面积为S，当0≤t≤5时，求S与t的函数关系式，并指出S取最大值时，点P的位置；
（3）t为何值时，△APM为直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，过点B作BD⊥x轴于点D，

∵A（10，0），B（4，8）C（0，8），

∴AO=10，BD=8，AD=6，

由勾股定理可求得：AB=10

（2）

解：∵AB=10，

∴10÷2=5，

∵0≤t≤5，

∴点M在AB上，

作ME⊥OA于E，

∴△AEM∽△ADB，

∴ ，

∴ ，

∴ME= t，

∴S= PAME= （10﹣t） =﹣ =﹣ （t﹣5）2+20，

∵0≤t≤5，

∴t=5时，S取最大值，此时PA=10﹣t=5，

即：点P在OA的中点处

（3）

解：由题意可知：0≤t≤7，

当点P是直角顶点时，

∴PM⊥AP，

∴PA=10﹣t，

若0≤t≤5时，点M在AB上，如图2，

此时AM=2t，

∵cos∠BAO= ，

∴ = ，

∴

∴t= ，

若5＜t≤7时，点M在BC上，如图3，

∴CM=14﹣2t，OP=t，

∴OP=CM，

∴t=14﹣2t，

∴t= ，

当点A是直角顶点时，

此时，∠MAP不可能为90°，此情况不符合题意；

当点M是直角顶点时，

若0≤t≤5时，M在AB上，如图4，

此时，AM=2t，AP=10﹣t

∵cos∠BAO= ，

∴ ，

∴ ，

∴t= ，

若5＜t≤7时，点M在BC上，如图5，

过点M作ME⊥x轴于点E，

此时，CM=14﹣2t，OP=t，

∴ME=8，PE=CM﹣OP=14﹣3t，

∴EA=10﹣（14﹣2t）=2t﹣4，

∵∠PMA=∠MEA=90°，

∴∠PME+∠EMA=∠EMA+∠MAP=90°，

∴∠PME=∠MAP，

∴△PME∽△MAE，

∴ ，

∴ME2=PEEA，

∴64=（14﹣3t）（2t﹣4），

∴3t2﹣8t+60=0，

△=﹣656＜0，故此情况不存在；

综上所述，t= 或 ；

【解析】（1）过点B作BD⊥x轴于点D，利用勾股定理求出AB的长度；（2）先判断出点M在AB上，然后表示出PA，ME即可用三角形的面积公式即可；（3）△APM为直角三角形时，由于没有规定哪个顶点是直角顶点，所以分三种情况进行讨论；利用锐角三角函数或相似三角形的性质即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解三角形的面积(三角形的面积=1/2×底×高)，还要掌握三角形的稳定性(三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状)的相关知识才是答题的关键．