题目内容
【题目】如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，
①当∠EAC=90°时，求PB的长；
②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．
【答案】
（1）
证明：如图1中，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC，
∴BD=CE
（2）
解：①a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．
∵∠EAC=90°，
∴CE= 
= 
，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC．
∴ 
= 
，
∴ 
= 
，
∴PB= 
b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．
∵∠EAC=90°，
∴CE= = ，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴ = ，
∴ = 
，
∴PB= 
，
综上，PB= 或 ．②解：a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．
理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）
∵AE⊥EC，
∴EC= 
= 
= 
，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD=AE=1，
∴PB=BD﹣PD= ﹣1．
b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．
理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）
∵AE⊥EC，
∴EC= = = ，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD=AE=1，
∴PB=BD+PD= +1．
综上所述，PB长的最小值是 ﹣1，最大值是 +1
【解析】（1）欲证明BD=CE，只要证明△ABD≌△ACE即可．（2）①分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．由△PEB∽△AEC，得 = ，由此即可解决问题．b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．解法类似．②a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．分别求出PB即可．
