题目内容
【题目】在直角坐标系xOy中，A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平移变化后得到如图1所示的△BCD．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标；
（3）现将△ABO、△BCD分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值．
【答案】
（1）
解：∵A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平移变化得到△BCD，
∴BD=OA=2，CD=OB=1，∠BDC=∠AOB=90°．
∴C（1，1）．
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
则有 
，
∴ 
∴抛物线解析式为y=﹣ 
x2+ 
x+2
（2）
解：如图1所示，
设直线PC与AB交于点E．
∵直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，
∴ 
= 
或 =3，
过E作EF⊥OB于点F，则EF∥OA．
∴△BEF∽△BAO，
∴ 
．
∴当 = 时， 
，
∴EF= ，BF= 
，
∴E（﹣ 
， ）
∴直线PC解析式为y=﹣ 
x+ 
，
∴﹣ x2+ x+2=﹣ x+ ，
∴x1=﹣ ，x2=1（舍去），
∴P（﹣ ， 
），
当 
时，同理可得，P（﹣ 
， 
）
（3）
解：设△ABO平移的距离为t，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分的面积为S．
(i) 当0＜t＜ 
时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为四边形．
由平移得，A1B1的解析式为y=2x+2﹣t，A1B1与x轴交点坐标为M（ 
，0）．
C1B2的解析式为y= x+t+ ，C1B2与y轴交点坐标为N（0，t+ ）．
①如图2，当C1D1在y轴右侧时，即0＜t≤ 时，重叠部分是现四边形ONQM，
设A1B1与x轴交于点M，C1B2与y轴交于点N，A1B1与C1B2交于点Q，连结OQ．
由 
，
∴ 
，
∴Q（ 
， 
）．
∴S=S△QMO+S△QON
= × × + ×（t+ ）× 
=﹣ 
t2+t+
=﹣ （t﹣ 
）2+ 
．
∵0＜t≤ ，
∴当t= 时，S的最大值为 ．
②如图4，当C'D'在y轴左侧，即： ＜t＜ 时，点C'在△A'MO内部，其重叠部分是四边形C'QMD'，
同（Ⅰ）的方法得出：Q（ ， ）．
∴S=S△QMD'+S△QON
= ×[ ﹣（2t﹣1）]× + ×1×[ ﹣（2t﹣1）]
=﹣ 
t2+1
∵ ＜t＜ ，
∴S＜ 
＜
（ii）如图3所示，
当 ≤t＜ 
时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为直角三角形．
设A1B1与x轴交于点H，A1B1与C1D1交于点G．
∴G（1﹣2t，4﹣5t），
∴D1H= +1﹣2t= 
，D1G=4﹣5t．
∴S= D1H×D1G= × ×（4﹣5t）= （5t﹣4）2．
∴当 ≤t＜ 时，S的最大值为 ．
综上所述，在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值为 ．
【解析】（1）由旋转，平移得到C（1，1），用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出△BEF∽△BAO，再分两种情况进行计算，由面积比建立方程求解即可；（3）先由平移得到A1B1的解析式为y=2x+2﹣t，A1B1与x轴交点坐标为（ ，0）．C1B2的解析式为y= x+t+ ，C1B2与y轴交点坐标为（0，t+ ），再分两种情况进行计算即可．
