题目内容

如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元．
探究1：如果木板边长为2米，FC=1米，则一块木板用墙纸的费用需
220
220
元；
探究2：如果木板边长为1米，当FC的长为多少时，一块木板需用墙纸的费用最省？最省是多少元？
探究3：设木板的边长为a（a为整数），当正方形EFCG的边长为多少时？墙纸费用最省．
分析：（1）首先求出正方形EGFC和三角形ABE的面积，再求出剩余的面积，用个面积乘以所需费用，
（2）设EF=x，BF=（1-x）m，总费用为y元，用x表示出正方形EGFC和三角形ABE的面积，用x表示总费用，求出其最值；
（3）同（2）一样，设FC=xm，则BF=（a-x）m，总费用为y元，得到y=20x2-20ax+60a2，当x=
1
2
a时，y有最小值，即墙纸费用最省．
解答：解：（1）∵CF=1，BC=2，
∴BF=1，
∴S△ABE=
1
2
×2×1=1，S正方形EFCG=1，S空白=4-1-1=2，
∴一块木板用墙纸的费用需=1×60+1×80+2×40=220（元）；

（2）设EF=xm，BF=（1-x）m，总费用为y元，
正方形EGFC的面积=x2，△ABE的面积=
1-x
2
，
则空白面积为：1-x2-
1-x
2
，
故总费用为：y=60x2+80×
1-x
2
+40×（1-x2-
1-x
2
）
=20x2-20x+60=20（x-
1
2
）2+55，
故当x=
1
2
时，总费用最省为55；

（3）设FC=xm，则BF=（a-x）m，总费用为y元，
∴S△ABE=
1
2
•（a-x）•a=
1
2
（a2-ax），S正方形EFCG=x2，S空白=a2-
1
2
（a2-ax）-x2=-x2+
1
2
ax+
1
2
a2，
∴y=
1
2
（a2-ax）×80+x2•60+（-x2+
1
2
ax+
1
2
a2）•40
=20x2-20ax+60a2=20（x-
1
2
a）2+55a2，
故当x=
1
2
a时，y有最小值，即墙纸费用最省，
答：当正方形EFCG的边长为
1
2
a时墙纸费用最省．
点评：本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．
练习册系列答案
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探究1：如果木板边长为2米，FC=1米，则一块木板用墙纸的费用需
 
元；
探究2：如果木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最省费用．
如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部精英家教网分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元．
探究1：如果木板边长为2米，FC=1米，则一块木板用墙纸的费用需
 
元；
探究2：如果木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最省费用；
探究3：设木板的边长为a（a为整数），当正方形EFCG的边长为多少时？墙纸费用最省；如要用这样的多块木板贴一堵墙（7×3平方米）进行装饰，要求每块木板A型的墙纸不超过1平方米，且尽量不浪费材料，则需要这样的木板
 
块．
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探究1：如果木板边长为1米，FC=
12
米，则一块木板用墙纸的费用需
55
55
元；
探究2：如果木板边长为2米，正方形EFCG的边长为x米，一块木板需用墙纸的费用为y元，
（1）用含x的代数式表示y（写过程）．
（2）如果一块木板需用墙纸的费用为225元，求正方形EFCG的边长为多少米？

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