Question

如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元．
探究1：如果木板边长为1米，FC=

1

2

米，则一块木板用墙纸的费用需

55

元；
探究2：如果木板边长为2米，正方形EFCG的边长为x米，一块木板需用墙纸的费用为y元，
（1）用含x的代数式表示y（写过程）．
（2）如果一块木板需用墙纸的费用为225元，求正方形EFCG的边长为多少米？

Answer 1

分析：探究1：根据条件可以分别求出正方形EFCG和三角形ABE的面积，从而求出需要C型墙纸的面积，根据各种墙纸的单价就可以求出需要的总费用．
探究2：（1）用x表示出三种不同的面积，利用三种墙纸不同的单价乘以面积就可以表示出总费用y．
（2）将225元代入（1）的解析式就可以求出x的值，就是正方形EFCG的边长的边长．

解答：解：探究1：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=1，
∴S_{正方形ABCD}=1，
∵四边形EFCG是正方形，
∴EF=CF=

1

2

，
∴S_{正方形EFCG}=

1

4

，BF=

1

2

，
∴S_△ABE=

1× 1 2

2

=

1

4

∴空白部分的面积为：1-

1

4

-

1

4

=

1

2

，
∴这块木板用墙纸的费用为：

1

4

×60+

1

4

×80+40×

1

2

=55元．
故答案为：55．

探究2：（1）∵木板边长为2米，
∴木板的面积为：4平方米．
∵正方形EFCG的边长为x米，
∴S_{正方形EFCG}=x²，S_△ABE=2-x，
∴空白的面积为：4-x²-（2-x）=2-x²+x，
y=60x²+80（2-x）+40（2-x²+x），
y=20x²-40x+240．

（2）当y=225时，
225=20x²-40x+240，解得：
x₁=

3

2

，x₂=

1

2

∴正方形EFCG的边长为

3

2

或

1

2

米．

点评：本题考查了正方形的性质，平面几何图形的面积公式的计算，抛物线的解析式的求法．