Question

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.

Answer 1

（1）解：设抛物线为.

∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.

∴抛物线为.

   (2)与⊙相交.

证明：当时，，.

            ∴为（2，0），为（6，0）.∴.

设⊙与相切于点，连接，则.

∵，∴.

又∵，∴.∴∽.

∴.∴.∴.

∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.

∴抛物线的对称轴与⊙相交. 

(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.

可求出的解析式为.

设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.

           ∴.

           ∵,

           ∴当时，的面积最大为.

           此时，点的坐标为（3，）.