Question

如图，在直角坐标系中，点D在y轴上，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD。已知， DO⊥AB， OE⊥BC，E、O分别为垂足，BC=BO ，O为坐标原点。

     (1) 求证：DO=EO

     (2) 已知：C点坐标为（4 ， 8），

①求等腰梯形ABCD的腰长；

②问题探究：在这个坐标平面内是否存在点F，使以点F、D、O、E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有符合要求的F点的坐标，并说明理由；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）证法不唯一。

证法一：∵ 四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD

        ∴ ∠OAD=∠OBE(等腰梯形同一底上的两个底角相等)

            AD=BC

∵ DO⊥AB， OE⊥BC

        ∴ ∠DOA=∠BEO==Rt∠

∴  △AOD≌△BOF （ASA），

∴  DO=EO-------------------------4分

证法二：连结OC，证△COD≌△COF （AAS），

得DO=EO

证法三：作CH⊥AB，证△CBH≌△BOE （AAS），

得CH=OE

再证矩形ODCH,

得CH=OD ，则DO=EO

（2）       ①设等腰梯形ABCD的腰长为x，

作CH⊥AB，则矩形ODCH中

OH=DC=4，CH=OD=8，BH=x-4

在Rt△CBH中,由勾股定理得

解得x=10

答：等腰梯形ABCD的腰长为10. -------------------------4分

②在坐标平面内存在点F，使以点F、D、O、E为顶点的四边形是菱形.

  ∵ OD=OEDE

  ∴以F、D、O、E为顶点的菱形唯一存在，四条边只能是是OD、OE、FD、FE，

在菱形DOEF中，FE∥OD，且FE=OD=8

在Rt△BOE中，作EG⊥OB，垂足为G.

BO=10，OE=8，则BE=6

由面积法,得EG=4.8

在Rt△GOE中,OE=8，EG=4.8，则OG=6.4，即E(6.4,4.8)

将E点向上平移8个单位，得到点F,GF=4.8+8=12.8

∴ F点的坐标为（6.4 ，12.8）