题目内容

如图，已知抛物线y=
3
4
x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（-1，0），过点C的直线y=
3
4t
x-3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是______，b=______，c=______；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．
（1）（0，-3），b=-
9
4
，c=-3；

（2）由（1），得y=
3
4
x2-
9
4
x-3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．
∴OB=4，
又∵OC=3，
∴BC=5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC：OB：BC=3：4：5，
∴HP：HB：BP=3：4：5，
∵PB=5t，∴HB=4t，HP=3t．
∴OH=OB-HB=4-4t．
由y=
3
4t
x-3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．
∴OQ=4t．
①当H在Q、B之间时，QH=OH-OQ=（4-4t）-4t=4-8t．
②当H在O、Q之间时，QH=OQ-OH=4t-（4-4t）=8t-4．
综合①，②得QH=|4-8t|；

（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．
①当H在Q、B之间时，QH=4-8t，
若△QHP∽△COQ，则QH：CO=HP：OQ，得
4-8t
3
=
3t
4t
，
∴t=
7
32
．
若△PHQ∽△COQ，则PH：CO=HQ：OQ，得
3t
3
=
4-8t
4t
，
即t2+2t-1=0．
∴t1=
2
-1，t2=-
2
-1（舍去）．
②当H在O、Q之间时，QH=8t-4．
若△QHP∽△COQ，则QH：CO=HP：OQ，得
8t-4
3
=
3t
4t
，
∴t=
25
32
．
若△PHQ∽△COQ，则PH：CO=HQ：OQ，得
3t
3
=
8t-4
4t
，
即t2-2t+1=0．
∴t1=t2=1（舍去）．
综上所述，存在t的值，t1=
2
-1，t2=
7
32
，t3=
25
32
．
练习册系列答案
相关题目
如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求A、B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
已知二次函数99象过点A（5，-1），B（1，1），C（-1，2），求此二次函数9解析式．
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条非直径的弦，且AB∥CD，连接AD和BC，
（1）AD和BC相等吗？为什么？
（2）如果AB=2AD=4，且A、B、C、D四点在同一抛物线上，请在图中建立适当的直角坐标系，求出该抛物线的解析式．
（3）在（2）中所求抛物线上是否存在点P，使得S△PAB=
1
2
S四边形ABCD？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
如图，对称轴为直线x=-
7
2
的抛物线经过点A（-6，0）和点B（0，4）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上的一个动点，且位于第三象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求?OEAF的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当?OEAF的面积为24时，请判断?OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使?OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．•
抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）点，
（1）求出m的值；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）直接写出x取何值时，抛物线位于x轴上方．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-
1
2
x2+bx+c经过A（-2，0），C（4，0）两点，和y轴相交于点B，连接AB、BC．
（1）求抛物线的解析式（关系式）．
（2）在第一象限外，是否存在点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E，然后直接写出点E的坐标，并判断是否有满足条件的点E在抛物线上；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BC上方的抛物线上，找一点D，使S△BCD：S△ABC=1：4，并求出此时点D的坐标．
如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是______．
如图（1），直线y=kx-k2（k为常数，且k＞0）与y轴交于点C，与抛物线y=ax2有唯一公共点B，点B在x轴上的正投影为点E，已知点D（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在实数k，使经过D，O，E三点的圆与抛物线的交点恰好为B？若存在，请求出时k的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），连接CE，已知点F（0，1），直线FA与CE相交于点M，不论k取何值，在①∠EAM=∠ECA，②∠EAM=∠ACF两个等式中有一个恒成立．请判断哪一个恒成立，并证明这个成立的结论．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网