题目内容
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-
x2+bx+c经过A（-2，0），C（4，0）两点，和y轴相交于点B，连接AB、BC．
（1）求抛物线的解析式（关系式）．
（2）在第一象限外，是否存在点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E，然后直接写出点E的坐标，并判断是否有满足条件的点E在抛物线上；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BC上方的抛物线上，找一点D，使S△BCD：S△ABC=1：4，并求出此时点D的坐标．
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（1）求抛物线的解析式（关系式）．
（2）在第一象限外，是否存在点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E，然后直接写出点E的坐标，并判断是否有满足条件的点E在抛物线上；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BC上方的抛物线上，找一点D，使S△BCD：S△ABC=1：4，并求出此时点D的坐标．
（1）∵抛物线y=-
x2+bx+c经过A（-2，0），C（4，0）两点，
∴
，
解得
．
∴抛物线的解析式为y=-
x2+x+4．
（2）在第一象限外存在点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似．
当BC为直角边时，
若点B为直角顶点，则点E的坐标为（-8，-4），此时点E不在抛物线上；
若点C为直角顶点，则点E的坐标为（-4，-8），此时点E在抛物线上．
（3）∵S△ABC=
×6×4=12，S△BCD：S△ABC=1：4，
∴S△BCD=
S△ABC=
×12=3．
如图所示，设在直线BC上方的抛物线上，找一点D的坐标为（x，-
x2+x+4），作DE⊥x轴于点E，则
S△BCD=S梯形BOED+S△DCE-S△BOC
=
×(-
x2+x+4+4)×x+
×(4-x)×(-
x2+x+4)-
×4×4=3．
即x2-4x+3=0，
解得x1=1，x2=3．
∴点D的坐标为（1，
）或（3，
）．
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解得
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∴抛物线的解析式为y=-
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（2）在第一象限外存在点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似．
当BC为直角边时，
若点B为直角顶点，则点E的坐标为（-8，-4），此时点E不在抛物线上；
若点C为直角顶点，则点E的坐标为（-4，-8），此时点E在抛物线上．
（3）∵S△ABC=
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∴S△BCD=
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如图所示，设在直线BC上方的抛物线上，找一点D的坐标为（x，-
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S△BCD=S梯形BOED+S△DCE-S△BOC
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即x2-4x+3=0，
解得x1=1，x2=3．
∴点D的坐标为（1，
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