Question

如图，在平面直角坐标系中，两个函数y1=x，y2=-

1

2

x+6的图象交于点A．动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，运动时间是t．作PQ∥X轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S，如图1．
（1）求点A的坐标．
（2）当t 为何值时，正方形PQMN的边MN恰好落在x轴上？如图2．
（3）当点P在线段OA上运动时，
①求出S与运动时间t（秒）的关系式．
②S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）联立两直线解析式，解方程组即可得到交点A的坐标；
（2）先求出点B的坐标，从而得到OB的长，设正方形的边长为a，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式求出正方形PQMN的边长，然后根据等腰直角三角形的性质求出OP，即可得解；
（3）①利用勾股定理求出OA，再根据相似三角形对应边成比例列式求出PQ，然后分MN在x轴下方与不在x轴下方两种情况，根据矩形的面积公式与正方形的面积公式列式整理即可得解；
②根据二次函数的最值问题对①中两个解析式分别求出最大值，比较即可得解．

解答：解：（1）联立

y=x y=- 1 2 x+6

，
解得

x=4 y=4

，
所以，点A的坐标为（4，4）；

（2）令y=0，则-

1

2

x+6=0，
解得x=12，
∴点B的坐标为（12，0），
∴OB=12，
正方形PQMN的边MN恰好落在x轴上时，设正方形的边长为a，
∵PQ∥OB，
∴△APQ∽△AOB，
∴

4-a

4

=

PQ

OB

=

a

12

，
解得a=3，
∵点P在直线y=x上，
∴△OPN是等腰直角三角形，
∴OP=

2

•PN=

2

a=3

2

，
∵点P运动的速度为每秒1个单位，
∴t=3

2

；

（3）①∵A（4，4），
∴OA=

42+42

=4

2

，
∴AP=OA-OP=4

2

-t，
∵PQ∥x轴，
∴△APQ∽△AOB，
∴

AP

OA

=

PQ

OB

，
即

4 2 -t

4 2

=

PQ

12

，
解得PQ=12-

3 2

2

t，
当0≤t＜3

2

秒，MN在x轴的下方，重叠部分是矩形，
此时S=PQ•

2

2

OP=（12-

3 2

2

t）×

2

2

t=-

3

2

t²+6

2

t，
当3

2

≤t≤4

2

秒时，MN不在x轴下方，重叠部分的正方形，
此时S=PQ²=（12-

3 2

2

t）²，
综上所述，S与t的关系式为S=

- 3 2 t2+6 2 t(0≤t＜3 2 ) (12- 3 2 2 t)2(3 2 ≤t≤4 2 )

；

②t=2

2

秒时，S有最大值为12．
理由如下：当0≤t＜3

2

秒时，S=-

3

2

t²+6

2

t=-

3

2

（t-4

2

t+8）+12=-

3

2

（t-2

2

）²+12，
所以，当t=2

2

秒时，S有最大值为12，
当3

2

≤t≤4

2

秒时，S=（12-

3 2

2

t）²，
抛物线的对称轴为直线t=-4

2

，
又∵t≤4

2

时，S随t的增大而减小，
∴t=3

2

时，S有最大值为：（12-

3 2

2

×3

2

）²=9，
∵12＞9，
∴当t=2

2

秒时，S有最大值为12．

点评：本题是一次函数综合题型，主要考查了联立两函数解析式求交点坐标，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，难点在于要分情况讨论．