Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴正半轴上，点B的横、纵坐标分别是一元二次方程x²+5x-24=0的两个实数根，点D是AB的中点．
（1）求点B坐标；
（2）求直线OD的函数表达式；
（3）点P是直线OD上的一个动点，当以P、A、D三点为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）解方程x²+5x-24=0得到它的两个实数根，进一步得到点B坐标；
（2）根据中点坐标公式得到点D坐标，再根据待定系数法得到直线OD的函数表达式；
（3）设P点的坐标为（x，-

3

4

x），当以P、A、D三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况：①如果PA=PD；②如果AP=AD；③如果DP=DA；讨论可求P点的坐标．

解答：解：（1）解方程x²+5x-24=0，
得x₁=-8，x₂=3，
∴点B坐标为（-8，3）；

（2）∵点D是AB的中点，A（0，3），B（-8，3），
∴D（-4，3）；
设直线OD的解析式为y=kx，
则3=-4k，解得k=-

3

4

，
∴直线OD的函数表达式为y=-

3

4

x；

（3）∵A（0，3），D（-4，3），
∴AD=4．
设P点的坐标为（x，-

3

4

x），当以P、A、D三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况：
①如果PA=PD，那么点P在AD的垂直平分线上，
∴x=-2，-

3

4

x=

3

2

，
∴P点的坐标为（-2，

3

2

）；
②如果AP=AD，那么x²+（-

3

4

x-3）²=16，
解得x₁=-4（与D点重合舍去），x₂=

28

25

，
当x=

28

25

时，-

3

4

x=-

21

25

，
∴P点的坐标为（

28

25

，-

21

25

）；
③如果DP=DA，那么（x+4）²+（-

3

4

x-3）²=16，
解得x₁=-

36

5

，x₂=-

4

5

，
当x=-

36

5

时，-

3

4

x=

27

5

，
当x=-

4

5

时，-

3

4

x=

3

5

，
∴P点的坐标为（-

36

5

，

27

5

），（-

4

5

，

3

5

）．
综上所述，P点的坐标为（-2，

3

2

）；（

28

25

，-

21

25

）；（-

36

5

，

27

5

），（-

4

5

，

3

5

）．

点评：本题考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解方程，中点坐标公式，待定系数法，等腰三角形的判定与性质，分类思想的运用，综合性较强．