题目内容
【题目】如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB，与y轴交于D点，∠CAO=90°-∠BDO.
（1）求证：AC=BC：
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，求BC+EC的长；
（3）如图3，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，当H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明.
（图3）
【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）GH=FH+OG，证明见解析.
【解析】试题分析: （1）由题意∠CAO=90°-∠BDO，可知∠CAO=∠CBD，CD平分∠ACB与y轴交于D点，所以可由AAS定理证明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性质可得AC=BC；
（2）过D作DN⊥AC于N点，可证明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO=EN、OC=NC，所以，BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC，即可得BC+EC的长；
（3）在x轴的负半轴上取OM=FH，可证明△DFH≌△DOM、△HDG≌△MDG，因此，MG=GH，所以，GH=OM+OG=FH+OG，即可证明所得结论．
试题解析:
（1）证明：∵∠CAO=90°-∠BDO，
∴∠CAO=∠CBD.
又∵∠ACD=∠BCD，CD=CD，
∴△ACD≌△BCD（AAS）.
∴AC=BC.
（2）解：过D作DN⊥AC于N点，如图所示：
∵∠ACD=∠BCD，∠DOC=∠DNC=90°，
CD=CD
∴△DOC≌△DNC（AAS），
∴DO=DN，OC=NC.
又∵∠DEA=∠DBO，∠DOB=∠DNC=90°
∴△BDO≌△EDN（AAS），
∴BO=EN.
∴BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC=8.
（3）GH=FH+OG.
证明：由（1）知：DF=DO，
在x轴的负半轴上取OM=FH，连接DM，
如图所示：
在△DFH和△DOM中
∴△DFH≌△DOM（SAS）.
∴DH=DM，∠l=∠ODM.
∴∠GDH=∠1+∠2=∠ODM+∠2=∠GDM.
在△HDG和△MDG中
∴△HDG≌△MDG（SAS）.
∴MG=GH，
∴GH=OM+OG=FH+OG.
点睛: 本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解决问题的关键．
