题目内容
在直角坐标系中,抛物线y=
x2+
mx+
m+
与x轴交于A,B两点,已知点A在x轴的负半轴上,点B在x轴的正半轴上,且BO=2AO,点C为抛物线的顶点.
(1)求此抛物线的解析式和经过B,C两点的直线的解析式;
(2)点P在此抛物线的对称轴上,且⊙P与x轴、直线BC都相切.求点P的坐标.
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9 |
2 |
9 |
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9 |
4 |
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(1)求此抛物线的解析式和经过B,C两点的直线的解析式;
(2)点P在此抛物线的对称轴上,且⊙P与x轴、直线BC都相切.求点P的坐标.
(1)设A点的坐标为(-a,0),则B点的坐标为(2a,0),其中a>0.
由题意得一元二次方程0=
x2+
mx+
m+
,
那么
?2m2-5m-12=0,
解得m=-
(不合题意舍去),
m=4,则a=2,
∴此抛物线的解析式为y=
(x-1)2-4,
B点的坐标为(4,0)、C点的坐标为(1,-4),
∴经过B,C两点的直线的解析式为y-0=
(x-4),
即y=
x-
;
(2)∵点P在此抛物线的对称轴上,故设P点的坐标为(1,k),
设⊙P与x轴、直线BC分别相切于点N、M,连接PB、PM,
在△PBC中,BC=
=
=5,
S△PBC=
PC•NB=
BC•PM,
即PM=
,
∵PM、NP均为圆P的半径,
∴|k|=
,
解得k=6(不合题意舍去),k=-
,
∴P点的坐标为(1,-
).
由题意得一元二次方程0=
4 |
9 |
2 |
9 |
5 |
9 |
4 |
3 |
那么
|
解得m=-
3 |
2 |
m=4,则a=2,
∴此抛物线的解析式为y=
4 |
9 |
B点的坐标为(4,0)、C点的坐标为(1,-4),
∴经过B,C两点的直线的解析式为y-0=
-4-0 |
1-4 |
即y=
4 |
3 |
16 |
3 |
(2)∵点P在此抛物线的对称轴上,故设P点的坐标为(1,k),
设⊙P与x轴、直线BC分别相切于点N、M,连接PB、PM,
在△PBC中,BC=
NB2+NC2 |
32+42 |
S△PBC=
1 |
2 |
1 |
2 |
即PM=
[k-(-4)]•3 |
5 |
∵PM、NP均为圆P的半径,
∴|k|=
(k+4)•3 |
5 |
解得k=6(不合题意舍去),k=-
3 |
2 |
∴P点的坐标为(1,-
3 |
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